Enunciado

Sabe-se que, numa faculdade de Economia, 30% dos alunos fizeram o curso científico 50% o curso técnico de contabilidade e os demais outros cursos. Constatou-se que 80% dos alunos provenientes do curso científico alcançam nota acima da média, ao passo que esta porcentagem cai para 40% entre os alunos provenientes do curso técnico de contabilidade e para 10% entre os demais cursos. Após um exame, escolhe-se, ao acaso, uma prova contendo nota acima da média; qual a probabilidade desta prova pertencer a cada um dos grupos citados?

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá relembrar um pouco da teoria de probabilidade.

Para este exercício iremos utilizar o Teorema de Bayes, porque os n eventos E 1 , E 2 ⋯ E n constituem uma partição do espaço amostral S (isto é, eles são dois a dois mutuamente exclusivos e tais que o evento soma dê o próprio espaço amostral), ou seja:

P ( E i / X ) = P ( E i ) ∙ P ( X / E i ) ∑ P ( E i ) ∙ P ( X / E i )

Onde:

  • P E i > 0 ( i = 1 ,   2 ,   ⋯   n );
  • X evento que só pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas E i .

Pelo enunciado temos:

  • E 1 alunos do curso científico:
  • P ( E 1 ) = 0,30 → P ( X / E 1 ) = 0,80

  • E 2 alunos do curso contabilidade:
  • P ( E 2 ) = 0,50 → P ( X / E 2 ) = 0,40

  • E 3 alunos de outros cursos:

P ( E 3 ) = 0,20 → P ( X / E 3 ) = 0,10

Passo 2

A probabilidade de se escolher a prova com uma nota acima da média do curso científico é:

P ( E 1 / X ) = P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

P ( E 1 / X ) = 0,30 ∙ 0,80 0,30 ∙ 0,80 + 0,50 ∙ 0,40 + 0,20 ∙ 0,10 ∙ 100 % = 52,2 %

Passo 3

No curso de contabilidade:

P ( E 2 / X ) = P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

P ( E 2 / X ) = 0,50 ∙ 0,40 0,30 ∙ 0,80 + 0,50 ∙ 0,40 + 0,20 ∙ 0,10 ∙ 100 % = 43,5 %

Passo 4

E nos demais cursos:

P ( E 3 / X ) = P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 ) P ( E 1 ) ∙ P ( X / E 1 ) + P ( E 2 ) ∙ P ( X / E 2 ) + P ( E 3 ) ∙ P ( X / E 3 )

P ( E 3 / X ) = 0,20 ∙ 0,10 0,30 ∙ 0,80 + 0,50 ∙ 0,40 + 0,20 ∙ 0,10 ∙ 100 % = 4,4 %

Tchau galera!

Resposta

A probabilidade de escolher, ao acaso, uma prova contendo nota acima da média para cada um dos cursos é:

  • Científico = 52,2 % ;
  • Contabilidade = 43,5 % ;
  • Outros = 4,4 % .

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