Enunciado

Sabe-se que o tamanho de partículas de prata em uma emulsão fotográfica tem uma distribuição lognormal, com uma média de 0,001 mm e um desvio-padrão de 0,002 mm.

  1. Determine os valores dos parâmetros para distribuição lognormal
  2. Qual é a probabilidade de um tamanho de partícula ser maior do que 0,005 mm?

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω . Lembre-se das fórmulas para a média e variância da distribuição lognormal:

μ = E ( X ) = e θ + ω 2 2

σ 2 = V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

A média e a variância são fornecidas da seguinte forma:

μ = 0.001

σ = 0.002

Vamos alterar as variáveis ​​usando:

x = e θ

y = e ω 2

para obter:

μ = x y

σ 2 = x 2 y ( y - 1 )

Vamos elevar ao quadrado a primeira equação e substituir na segunda para calcular y:

e ω 2 = y = σ 2 μ 2 + 1 = 5

Que você pode resolver para encontrar ω :

ω = l n 5 = 1.268636

Passo 2

Agora, simplesmente determine θ   da seguinte maneira:

x = μ y = 0.001 5 = 0.0004472136

θ = l n 0.0004472136 = - 7.712474

Por fim, calcule usando a fórmula para a função de distribuição de probabilidade da distribuição lognormal e usando as tabelas na parte de trás do livro:

P ( X > 0.005 ) = 1 - Φ ( l n 0.005 + 7.71 1.27 ) = 0.029

Resposta

  1. ω = 1.2686
  2. θ = - 7.71

  3. 0.029
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