Enunciado

Segundo dados da CESP, foi feito um levantamento, em n = 19 cidades do estado de São Paulo, a respeito da extensão da rede de transmissão urbana Y (em km de rede), em função da população economicamente ativa vinculada a atividades urbanas X 1 (em mil habitantes) e em função também da extensão territorial da cidade X 2 (em km2).

Efetuados os cálculos dos somatórios necessários à montagem de regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

O cálculo das médias ( Y , X 1 e X 2 ) são dadas pelas seguintes equações:

Para as variâncias vamos usar as equações:

E para as covariâncias:

Passo 2

Primeiramente iremos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 1269,52 19 = 66,82

X - 1 = 19,42 19 = 1,02

X - 2 = 5,30 19 = 0,28

O cálculo das variâncias:

S 11 = 69,14 - 19,42 2 19 = 49,29

S 22 = 2,28 - 5,30 2 19 = 0,802

S Y Y = 202054,6 - 1269,52 2 19 = 117229,3

E das covariâncias:

S Y 1 = 3649,24 - 1269,52 ∙ 19,42 19 = 2351,66

S Y 2 = 465,86 - 1269,52 ∙ 5,30 19 = 111,73

S 21 = S 12 = 8,21 - 19,42 ∙ 5,30 19 = 2,79

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 111,73 2,79 - 2351,66 49,29 0,802 2,79 - 2,79 49,29 = - 33,2

b 1 = 111,73 2,79 - 0,802 2,79 ∙ ( - 33,2 ) = 49,59

a = 66,82 - 49,59 ∙ 1,02 - ( - 33,2 ) ∙ 0,28 = 25,53

Por fim, temos a equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = 25,53 + 49,59 ∙ X 1 - 33,2 ∙ X 2

Espero ter conseguido te ajudar, até mais!

Resposta

Y ^ = 25,53 + 49,59 ∙ X 1 - 33,2 ∙ X 2 .

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