Enunciado

Seis máquinas produzem arame de aço. Os dados abaixo correspondem a uma amostra de 5 medidas do diâmetro do arame produzido em cada máquina:

Testar se as médias das máquinas são iguais, a um nível de significância de 5 % . Supõe-se a igualdade das variâncias. Se necessário, aplique o teste de Scheffé.

Passo 1

Olá galerinha, vamos lembrar um pouquinho sobre análise de variância? Vem comigo!

A análise de variância constitui-se de um conjunto de técnicas estatísticas para descobrir “fatores” que produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente é quantitativa e é observada dentro das classes dos fatores.

Sabendo disso, vamos lá para nosso exercício!

  1. Definir as hipóteses nula e alternativa:
  • H 0 : μ A = μ B = μ C = μ D = μ E = μ F
  • H 1 : pelo menos uma diferente
  • α = 0,05
  • F K - 1 ; N - K

    Onde:

    • K n° de tratamentos
    • N n° total de elementos
    • Então:

    • K = 6
    • N = 30

    F 6 - 1 ; 30 - 6 = F 5 ; 24

    Passo 2

  • Determinar a região crítica:
  • F t a b = 2,62

  • Calcular a variável, através do Quadro de Análise de Variância:
  • Onde:

    C = ∑ i ∑ j x i j 2 N

    Temos os seguintes dados:

    Primeiramente iremos calcular o valor C :

    C = 490 2 30 = 8003,33

    A variação total:

    S t = 12 2 + 13 2 + ⋯ + 17 2 - 8003,33 = 488,67

    A variação entre amostras é:

    S e = 72 2 5 + 74 2 5 + 84 2 5 + 115 2 5 + 68 2 5 + 77 2 5 - 8003,33 = 295,47

    Com esses valores, conseguimos encontrar a variação dentro da amostra:

    S r = 488,67 - 295,47 = 193,20

    Sendo assim, conseguimos completar nossa tabela:

    F c a l c = 7,34

  • Conclusão: F c a l c > F t a b ou 7,34 > 2,62 , então rejeitamos H 0 . Pelo menos uma das médias das máquinas diferem entre si, num nível de significância de 5%.
  • Passo 3

    Como há diferença significativa, iremos utilizar o Teste de Scheffé para identificar quais máquinas diferem uma da outra.

    No caso de classificação única, Scheffé demonstrou que se as duas médias μ A 3 μ B são diferentes, então:

    x - A - x - B ≥ ∆ α

    Onde:

    ∆ α = S r ' 2 ∙ K - 1 ∙ 1 n A + 1 n B ∙ F α [ K - 1 N - K ]

    E sabemos que:

    S r ' 2 = S r N - K = 193,20 30 - 6 = 8,05

    Com esse valor conseguimos calcular nosso ∆ α :

    ∆ α = 8,05 ∙ 6 - 1 ∙ 1 6 + 1 5 ∙ 2,62 = 6,2 2

    Agora vamos calcular o módulo para cada uma das médias:

    Tchau pessoal.

    Resposta

    • F c a l c = 7 , 3 4 , pelo menos uma das médias das máquinas diferem entre si.
    • As médias A e D, B e D, D e E, D e F diferem entre si.

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