Enunciado

Com 5 marcas de automóveis foi feita uma experiência para verificar o número de quilômetros percorridos com 4 litros de gasolina. Esta experiência foi repetida em três cidades. Os resultados obtidos foram:

Determine se existem diferenças significativas entre os quilômetros percorridos para as marcas e para as cidades, para α = 0,05 .

Passo 1

Olá galerinha, vamos lembrar um pouquinho sobre análise de variância? Vem comigo!

A análise de variância constitui-se de um conjunto de técnicas estatísticas para descobrir “fatores” que produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. Os fatores propostos podem ser variáveis quantitativas ou qualitativas, enquanto a variável dependente é quantitativa e é observada dentro das classes dos fatores.

A análise de variância de classificação dupla serve para testar, simultaneamente, diferenças entre médias, levando-se em conta 2 tratamentos ou fatores. Nomenclaturas:

  • N número total de elementos observados;
  • K número total de colunas (1° fator);
  • n i número total de linhas (2° fator).

Sabendo disso, vamos lá para nosso exercício!

  1. Definir as hipóteses nula e alternativa:
  • H 0 : μ i = μ j = μ
  • H 1 : pelo menos uma das μ i ou μ j ≠ μ
  • α = 0,05
    • F α i K - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 (entre colunas)
    • F α j [ n i - 1 ) ; ( K - 1 n i - 1 ] (entre linhas)
    • Onde:

      • n i = 5
      • K = 3
      • N = 15

      Então:

    • F α i → F 0,05 i 2 ) ; ( 2 4 = F 0,05 ( 2 , 8 )
    • F α j → F 0,05 j 4 ) ; ( 2 4 = F 0,05 ( 4 , 8 )

    Passo 2

  • Determinar a região crítica:
    • Para as cidades:
    • F 0,05 2 , 8 = 4,46

    • Para as marcas:

    F 0,05 4 , 8 = 3,84

  • Calcular a variável, através do Quadro de Análise de Variância:
  • Onde:

    C = ∑ i ∑ j x i j 2 N

    Temos os seguintes dados:

    Primeiramente iremos calcular o valor C :

    C = 305,2 2 15 = 6209,80

    A variação total:

    S t = 2 0,3 2 + 1 9,5 2 + ⋯ + 2 2 , 1 2 - 6 209,80 = 40,52

    A variação entre linhas é:

    S j = 61,7 2 3 + 59,2 2 3 + 64,5 2 3 + 56,5 2 3 + 63,3 2 3 - 6209,80 = 13,84

    E a variação entre as colunas é:

    S e = 1 03,1 2 5 + 98,9 2 5 + 103,2 2 5 - 6209,80 = 2,41

    Com esses valores, conseguimos encontrar a variação dentro da amostra:

    S r = 40,52 - 13,84 - 2,41 = 24,27

    Sendo assim, conseguimos completar nossa tabela:

  • Conclusão:
    • F c a l c i < F t a b i ou 0 , 397 < 4,46 aceita H 0 , para α = 0,05 .
    • F c a l c j < F t a b j ou 1,14 < 3,84 aceita H 0 , para α = 0,05 .

    Não há diferenças significativas entre os quilômetros percorridos para as marcas e para as cidades, para um nível de significância de 5%.

    Tchau pessoal.

    Resposta

    Não há diferença entre os quilômetros percorridos.

    • F j = 1,14 ;
    • F i = 0 , 397 .

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