Enunciado

Seja X tilde E x p ((1)/(10)) , calcule:

  1. P ( X <= 5 )

Passo 1

Antes de tudo vimos que um modelo exponencial possui a seguinte função densidade:

f (x) = {[[alpha,e^(- alpha x),,,,,,,x,>=,0],[0,,,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o]])

No nosso exercício temos o seguinte: X tilde E x p ((1)/(10)) , ou seja alpha = (1)/(10)

Então a nossa função densidade de probabilidade para o tempo, em minutos, do uso de um caixa eletrônico, será dada por:

f (X) = {[[(1)/(10),e^((- X)/(10)),,,,,,,,,x,>=,0],[,,0,,,,,,,,c,a,s,o,,c,o,n,t,r,á,r,i,o]])

Alem disso, lembre-se sempre, que para uma variável contínua relacionamos a probabilidade com a área de uma curva; então dizemos o seguinte:

P (a <= x <= b) = int_a^b f (x) d x

Onde f ( x ) é a função densidade de probabilidade.

Passo 2

Para a alternativa A:

P (X <= 5) = int_0^5 ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x

Fazendo troca de variáveis, chamando u = - (x)/(10) e d u = - (1)/(10) d x

Então chegamos no seguinte:

(1)/(- 1) int e^u d u = - e^(- u)

Passo 3

Portanto:

P (X <= 5) = int_0^5 ((1)/(10) e^((- x)/(10))) d x = - [e^(- (x)/(10))] (5)/(0)

Portanto,

P (X <= 5) = 1 - e^(- 0,5)

Resposta

Concluimos que:

  1. P (X <= 5) = 0,3935
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