1.

O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador é distribuído exponencialmente, com uma média de duas horas.

  1. Qual é a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas?
  2. Se você não tiver recebido uma mensagem nas primeiras quatro horas, qual será a probabilidade de você não receber uma mensagem nas próximas 2 horas?
Resolução
2.

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Resolução
3.

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

  1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Resolução
4.

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média 18 meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com 80 %   de probabilidade.

Resolução
5.

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribuída com parâmetro λ   =   1 2 .

(a) Deduza, usando integração, a Função de Distribuição Acumulada(FDA) da v.a. T 1 ∼ Exponencial(λ). Calcule a probabilidade de um tempo de reparo exceder a 1 hora.

Resolução
6.

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
  3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Resolução
7.

Ocorrem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

  1. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T ;

Obs.: Lembre-se de que existe uma relação entre os modelos de Poisson e Exponencial.

Resolução
8.

Estudos mostram que em períodos críticos, o número de casos de dengue notificados em um determinado posto de saúde segue uma distribuição de Poisson. A cada semana, em média, 3 casos são notificados.

  1. Qual é a probabilidade de que o intervalo de tempo entre duas notificações consecutivas seja maior que dois dias?
  2. Após uma notificação no início de uma semana, exatamente 2 dias se passaram sem nenhum outro caso ser notificado. Qual é a probabilidade de que não haja casos notificados nesta semana?
Resolução
9.

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

b) O prazo necessário para realizar a obra pode ser encarado como uma variável aleatória com distribuição Exponencial. Com base na sua experiência, a construtora presume que uma obra como essa levaria em média 18 meses para ficar pronta. Que prazo para entrega das chaves, a partir do início da obra, deve ser informado aos possíveis interessados na compra da casa? Admita que a construtora deseja ser capaz de cumprir esse prazo com 80 %   de probabilidade.

Resolução
10.

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Resolução
11.

Admita que o intervalo de tempo T entre duas chegadas sucessivas de mensagens de Whatsapp ao celular de determinada pessoa segue uma distribuição Exponencial, e que a probabilidade de que esse intervalo de tempo seja maior que 20 minutos é igual a 0,135.

a) Em média, quanto tempo após a chegada de uma mensagem deve chegar a próxima mensagem?

b) Qual a probabilidade de que T seja no máximo 40 minutos, dado que T é no mínimo 25 minutos?

c) Qual o desvio padrão do número de mensagens que a pessoa recebe em meia hora?

d) Qual a probabilidade de que, ao longo de 1 hora, ela receba pelo menos 4 mensagens?

Resolução
12.

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

Resolução
13.

O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória T 1   Exponencialmente distribuída com parâmetro λ   =   1 2 .

(b) Calcule a probabilidade condicional de que um reparo demore pelo menos 9 horas, dado que já demorou mais de 8 horas. Que propriedade da distribuição Exponencial relaciona a resposta deste item com a do item(a)?

Resolução
14.

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

  1. Experimentos com diversas amostras dessa bateria mostraram que somente 8% delas funcionaram mais do que 250 dias. Mostre como utilizar este dado para estimar o parâmetro da distribuição e aponte um significado para este no caso específico do exemplo.
Resolução
15.
  1. Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.
Resolução
16.

Suponha que o tempo de vida de uma bateria de um determinado fabricante seja modelado por uma variável aleatória exponencial.

  1. Suponha que o tempo médio de vida útil de uma outra bateria sendo testada seja igual a 100 dias. Suponha que para detectar um determinado problema com esta bateria seja preciso observá-la por um período de pelo menos 260 dias. Assim sendo, vamos retirar uma amostra aleatória contendo 170 baterias e observar o comportamento delas nos próximos 260 dias (em funcionamento ou com defeito). Qual o valor esperado do número de baterias que encontraremos com defeito após os 260 dias? Explique os passos e os modelos probabilísticos utilizados no seu cálculo.
Resolução
17.

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
  3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Resolução
18.

Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.

(a) Seja T o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de T . Deduza através de integração a expressão matemática da função de distribuição acumulada de T .

(b) Qual a probabilidade de que T esteja entre 8 e 12 horas?

(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida ao longo dele seja de 90%.

Resolução
19.

Em uma grande rede corporativa de computadores, o número de conexões dos usuários ao sistema pode ser modelado como um processo que segue uma distribuição Poisson com média de 20 conexões por hora. Pergunta-se:

  1. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
  2. Qual a probabilidade de que o intervalo de tempo entre conexões esteja entre 2 e 4 minutos?
  3. Determine qual é o tempo que no mínimo deve transcorrer para que ocorra uma conexão, com 90% de probabilidade.
Resolução

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas