Enunciado

Seja X o número de pacotes que estão sendo enviados por um cliente selecionado aleatoriamente em uma determinada empresa de remessas. Suponha que a distribuição de X seja como segue:

a. Considere uma amostra aleatória de tamanho n = 2 (dois clientes) e seja X o número médio da amostra de pacotes enviados. Obtenha a distribuição de probabilidades de X .

b. Refira-se à parte (a) e calcule P ( X - ≤ 2,5 ) .

c. Considere novamente uma amostra aleatória de tamanho n = 2 , mas agora enfoque a estatística R =   o intervalo da amostra (diferença entre os valores maior e menor na amostra). Obtenha a distribuição de R . [Sugestão: calcule o valor de R para cada resultado e use as probabilidades da parte (a).]

d. Se uma amostra aleatória de tamanho n = 4 for selecionada, qual é P ( X - ≤ 1,5 ) ? (Sugestão: você não deve listar todos os resultados possíveis, somente aqueles para os quais x - ≤ 1,5 .)

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos esse exercício vamos precisar montar algumas tabelas baseadas na tabela do enunciado, basta fazer algumas interpretações que acharemos cada probabilidade pedida. Bora lá!!

Passo 2

A média amostral é a soma de todos os valores dividido pelo número de valores.

E a sua probabilidade é o produto das probabilidades associadas aos dois valores.

Logo, a distribuição pode ser representada pela tabela abaixo:

Agora, a probabilidade do intervalo amostral é a soma das probabilidades da tabela acima que levam à mesma média amostral.

Então, abaixo temos a distribuição de probabilidade de X - .

Passo 3

Usando a regra de adição para eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos:

P A   o u   B = P A + P ( B )

Adicionando as probabilidades correspondentes.

P X - ≤ 2,5 = P X = 1 + ` P X = 1,5 + P X = 2 + P ( X = 2,5 )

= 0,16 + 0,24 + 0,25 + 0,2

= 85 %

Passo 4

Seguindo a mesma lógica do Passo 2, temos:

Logo, a distribuição de probabilidade para R é:

Passo 5

Amostras de tamanho n = 4 terão uma média amostral de no máximo 1,5 , precisa ter as propriedades de que a soma de todos os valores de dados é no máximo 6. Sendo os pontos abaixo:

1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 , 1 ,   1 ,   2 ,   1 , 1 ,   2 ,   1 ,   1 , 2 ,   1 ,   1 ,   1

1 ,   1 ,   2 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 ,   2 , 2 ,   1 ,   1 ,   2 , 1 ,   2 ,   2 ,   1 , 2 ,   1 ,   2 ,   1

2 ,   2 ,   1 ,   3 ,   1 ,   1 ,   1 ,   3 , 1 ,   1 ,   3 ,   1 , 1 ,   3 ,   1 ,   1 , 3 ,   1 ,   1 ,   1

E a probabilidade dos pontos acima é calculada pelo produto de cada um dos 4 valores:

0,0256 ; 0,0192 ; 0,0192 ; 0,0192 ; 0 , 0192

0,0 144 ; 0,01 44 ; 0,01 44 ; 0,01 44 ; 0,01 44

0,0 144 ; 0,01 28 ; 0,01 28 ; 0,01 28 ; 0,01 28

Sendo assim, a probabilidade quando x - ≤ 1,5 é a soma das probabilidades acima:

P x - ≤ 1 , 5 = 0,0256 + 4 0,0192 + 6 0,0144 + 4 ( 0,0128 )

P x - ≤ 1,5 = 24 %

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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