Enunciado

Seja X uma variável aleatória cuja função geradora de momentos é ϕ 1 :   seja Y = a X + b , onde a   e   b são constantes reais e, por fim seja ϕ 2 a função geradora de momentos de Y . Então, para todo valor de t tal que ϕ 1 ( a t ) existe ϕ 2 t = e b t ϕ 1 a t .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Seja X uma variável aleatória cuja função geradora de momentos é ϕ 1 :   seja Y = a X + b , onde a   e   b são constantes reais e, por fim seja ϕ 2 a função geradora de momentos de Y . Então, para todo valor de t tal que ϕ 1 ( a t ) existe ϕ 2 t = e b t ϕ 1 a t .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

ϕ 1 , seja Y = a X + b , para ϕ 1 ( a t ) existir em ϕ 2 t = e b t ϕ 1 a t temos,

d d t ϕ x t = ∫ - ∞ ∞ x e t x   f x d x

Calculando o valor dessa derivada no ponto t = 0 , temos:

ϕ X ' 0 = ∫ - ∞ ∞ x f x d x = E X

Calculando-se a segunda derivada de ϕ X ( t ) tem-se,

d 2 d t 2 ϕ X t = ∫ - ∞ ∞ x 2 e t x f x d x

Logo o valor da derivada no ponto zero fica,

ϕ ' ' X 0 = ∫ - ∞ ∞ x 2 f x d x = E ( X 2 )

E prosseguindo para k = 3,4 , … nós podemos definir que

ϕ X k 0 = E ( X k )

Ficando,

ϕ x k = E ( x )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

ϕ x k = E ( x )

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