Enunciado

Seja X a vida útil de um componente, com f ( x ) e F ( x ) sendo a fdp e a fdc de X . A probabilidade de o componente apresentar falha no intervalo ( x ,   x + ∆ x ) é aproximadamente f ( x ) ∙ ∆ x . A probabilidade condicional de o componente apresentar falha em ( x ,   x + ∆ x ) , dado que durou ao menos x , é f ( x ) ∙ ∆ x / [ 1 -   F ( x ) ] . Dividindo a expressão por ∆ x produz a função de taxa de falha:

r x = f x 1 - F ( x )

Um aumento da função de taxa de falha indica que os componentes mais antigos têm mais probabilidade de apresentar desgaste, enquanto uma taxa de falha decrescente é evidência de aumento de confiabilidade com a idade. Na prática, uma falha “com formato de banheira” é assumida com frequência.

a. Se X tiver distribuição exponencial, qual será r ( x ) ?

b. Se X tiver distribuição de Weibull com parâmetros α e β , qual será r ( x ) ? Para que valores de parâmetros r(x) aumentará? Para que valores de parâmetros r ( x ) diminuirá com x ?

c. Como r x = - d d x ln ⁡ 1 - F x , ln ⁡ 1 - F x = - ∫ r ( x ) d x . Suponha

r x = α 1 - x β                                       0 ≤ x ≤ β 0                                           c a s o   c o n t r á r i o

de forma que, se um componente durar horas, durará para sempre (apesar de não parecer razoável, o modelo é usado para estudar apenas o “desgaste inicial”). Quais são a fdc e a fdp de X ?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Enunciado gigante né?? Hahaha

Mas fique tranquilo, a resolução não irá demorar tanto. Precisamos apenas usar as funções para r ( x ) que o enunciado nos deu e calcular o que nos pede. Bora láaa!!!

Passo 2

A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa da distribuição exponencial com parâmetro λ são:

f x = λ e - λ x

F x = 1 - e - λ x

Substituindo na função do enunciado:

r x = f x 1 - F x

r x = λ e - λ x e - λ x

r x = λ

Passo 3

A função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa da distribuição de Weibull com parâmetro α e β são:

f x = α β α x α - 1 e - x / β α

F x = 0                                                                     x ≤ 0 1 - e - x β α                             x ≥ 0

Substituindo os valores encontramos:

r x = α β x α - 1

Derivando:

r ' x = α α - 1 β x α - 2

Igualando a zero, achamos a equação:

α - 1 = 0

α = 1

Se a α for menor do que 1 a função diminuirá.

Passo 4

Agora, temos a seguinte função:

r x = α 1 - x β

Determinando a integral:

∫ r ( x ) = ∫ α 1 - x β d x = α x - x 2 2 β

O logaritmo natural de 1 - F ( x ) é igual o negativo da integral acima:

ln ⁡ 1 - F x = - α x - x 2 2 β

Isolando F ( x ) .

F x = 1 - e - α ( x - x 2 / 2 β )

A densidade de probabilidade é a derivada da distribuição cumulativa:

f x = d d x F ( x )

f x = α 1 - x β e - α ( x - x 2 / 2 β )  

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

Exercícios de Livros Relacionados

Para ir trabalhar, primeiro preciso tomar um ônibus perto da minha casa e depois mudar de ônibus. Se o tempo de espera (em minutos) em cada parada tem uma distribuição uniforme com A = 0 e B = 5 , pod
Acredita-se que o tempo X (min.) para um assistente de laboratório preparar o equipamento para certo experimento tenha distribuição uniforme com A = 25 e B = 35 . a. Escreva a fdp de X e faça o gráfic
Uma família de fdps que tem sido usada para aproximar a distribuição de renda, tamanho da população da cidade e tamanho das empresas é a família de curvas de Pareto. A família tem dois parâmetros, k e
Defina uma função p ( x ; λ , μ ) por p ( x ; λ , μ )= 1 2 e - λ λ x x ! + 1 2 e - μ μ x x ! x = 0,1 , 2 , … 0 casocontrário á a. Mostre que p ( x ; λ , μ ) satisfaz às duas condições necessárias para
O artigo “Response of SiCf /Si3N4, Composites Under Static and Cyclic Loading — An Experimental and Statistical Analysis” (J. of Engr. Materials and Technology, 1997, p. 186-193) sugere que a resistên