Enunciado

Sejam X 1 , X 2 , e X 3 os tempos necessários para realizar três reparos sucessivos em determinada oficina. Suponha que sejam vas normais independentes com valores esperados μ 1 , μ 2 , e μ 3 e variâncias σ 1 2 , σ 2 2 , e σ 3 2 , respectivamente.

a. Se μ = μ 2 = μ 3 = 60 e σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = 15 , calcule P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) . Qual é P ( 150 ≤ X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 ) ?

b. Usando os μ i s e σ i s dados na parte (a), calcule P ( 55 ≤ X - ) e P ( 58 ≤ X - ≤ 62 ) .

c. Usando os μ i s e σ i s dados na parte (a), calcule P ( - 10 ≤ X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3 ≤ 5 ) .

d. Se μ 1 = 40 , μ 2 = 50 , μ 3 = 60 , σ 1 2 = 10 , σ 2 2 = 12 e σ 3 2 = 14 , calcule P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 160 ) e P ( X 1 + X 2 ≥ 2 X 3 ) .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, vou deixar as equações explícitas conforme a resolução, são muitas probabilidades para calcularmos, mas vamos dar conta. Bora lá!!!

Passo 2

Na letra (a), a variável aleatória é definida como:

T 0 = X 1 + X 2 + X 3

O valor médio da variável é:

E T 0 = E X 1 + X 2 + X 3

= E X 1 + E X 2 + E ( X 3 )

= 60 + 60 + 60

E T 0 = 180

A variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 + X 3 )

= V X 1 + V X 2 + V ( X 3 )

= 15 + 15 + 15

= 45

Por fim, o desvio padrão da variável aleatória T 0 é:

σ T 0 = V ( T 0 ) = 45 = 6,708

A primeira probabilidade é T 0 menor ou igual a 200 .

P T 0 ≤ 200 = P ( X 1 + X 2 + X 3 ≤ 200 )

= P X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 200 - 180 6708

= P Z ≤ 2,98

P T 0 ≤ 200 = 0,9986

E a segunda fica:

P 150 ≤ T 0 ≤ 200 = P 150 - 180 6708 ≤ X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 200 - 180 6708

= P ( - 4,47 ≤ Z ≤ 2,98 )

= P Z ≤ 2,98 - P ( Z ≤ 4,47 )

= 0,9986

Passo 3

Agora, vamos precisar do valor médio da amostra e do desvio padrão dela.

Valor médio da amostra:

μ X - = μ = 60

O desvio padrão da média da amostra:

σ X - = σ n = 15 3 = 2,236

Logo, as probabilidades pedidas ficam:

Primeira probabilidade.

P X - ≥ 55 = P X - - μ X - σ X - ≥ 55 - 60 2236

= P ( Z ≥ - 2,236 )

= 1 - P Z < - 2,236 = 0,9875

A segunda probabilidade.

P 58 ≤ X - ≤ 62 = P ( - 0,89 ≤ Z ≤ 0,89 )

= 0,6266

Passo 4

Antes de calcularmos as probabilidades, precisamos encontrar o valor médio da variável aleatória e o desvio padrão dela.

Encontrando o valor médio:

E T 1 = E X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3

= E X 1 - 0,5 E X 2 - 0,5 E X 3

= 60 - 0,5 . 60 - 0,5 . ( 60 )

E T 1 = 0

Achando a variância:

V T 1 = V ( X 1 - 0,5 X 2 - 0,5 X 3 )

= 1 2 V X 1 + - 0,5 2 V X 2 + - 0,5 2 V ( X 3 )

= 15 + - 0,5 2 . 15 + - 0,5 2 . 15

= 22,5

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 1 ) = 22,5 = 4,7434

Então, agora podemos calcular a probabilidade da seguinte forma:

P - 10 ≤ T 1 ≤ 5 = P - 10 - 0 4,7434 ≤ Z ≤ 5 - 0 4,7434

= P ( - 2,11 ≤ Z ≤ 1,05 )

= P Z ≤ 1,05 - P ( Z ≤ - 2,11 )

= 0,8531 - 0,0174

= 0,8357

Passo 5

Novamente, antes de calcularmos as probabilidades, precisamos encontrar o valor médio da variável aleatória e o desvio padrão dela.

Encontrando o valor médio:

E T 0 = E X 1 + X 2 + X 3

= E X 1 + E X 2 + E X 3

= 40 + 50 + 60

E T 0 = 150

Achando a variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 + X 3 )

= V X 1 + V X 2 + V ( X 3 )

= 10 + 12 + 14

= 36

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 0 ) = 36 = 6

Agora, calculando a probabilidade.

P T 0 ≤ 160 = P X 1 + X 2 + X 3 ≤ 160

= P X 1 + X 2 + X 3 - μ T 0 σ T 0 ≤ 160 - 150 6

= P ( Z ≤ 1,67 )

= 0,9525

Para calcularmos a segunda probabilidade da letra (d), vamos precisar encontrarmos um novo valor médio e desvio padrão, do mesmo método acima. Bora láa.

Antes, precisamos definir a inequação abaixo:

X 1 + X 2 ≥ 2 X 3

Que pode ser escrita como:

X 1 + X 2 - 2 X 3 ≥ 0

Sendo assim, temos que:

T 2 = X 1 + X 2 - 2 X 3

Encontrando o valor médio:

E T 2 = E X 1 + X 2 - 2 X 3

= E X 1 + E X 2 - 2 E X 3

= 40 + 50 - 2 . ( 60 )

E T 0 = - 30

Achando a variância:

V T 0 = V ( X 1 + X 2 - 2 X 3 )

= V X 1 + V X 2 + - 2 2 V ( X 3 )

= 10 + 12 + 4 . ( 12 )

= 78

Por fim, achando o desvio padrão da variável aleatória.

σ T 1 = V ( T 0 ) = 78 = 8,832

Agora, calculando a probabilidade.

P T 2 ≥ 0 = P X 1 + X 2 - 2 X 3 ≥ 0

= P X 1 + X 2 - 2 X 3 - μ T 2 σ T 2 ≤ 0 - ( - 30 ) 8,832

= P ( Z ≥ 3,4 )

P T 2 ≥ 0 = 0 , 0003

Terminamos!!!

Resposta

  1. P T 0 ≤ 200 = 0,9986                               P 150 ≤ T 0 ≤ 200 = 0,9986        
  2. P X - ≥ 55 = 0,9875                     P 58 ≤ X - ≤ 62 = 0,6266
  3. P - 10 ≤ T 1 ≤ 5 = 0,8357                
  4. P T 0 ≤ 160 = 0 , 9525
  5. P T 2 ≥ 0 = 0,0003

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