Enunciado

Um sistema de engenharia formado por n componentes é chamado de "sistema k de n" ( k ≤ n ) se ele funcionar se e somente se pelo menos k de n componentes estiverem funcionando. Suponha que todos os componentes funcionem de forma independente.

(a) Se o i-ésimo componente funcionar com probabilidade P i , i = 1, 2, 3, 4, calcule a probabilidade de que um sistema "2 de 4" funcione.

(b) Repita a letra (a) para um sistema "3 de 5”.

(c) Repita para um sistema "k de n" quando todos as probabilidades P, são iguais a p (isto é, P i , 1= 1, 2, ..., n).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos nomear os eventos

S =   a s   2   d e   4   f u n ç õ e s   d o   s i s t e m a

A i = A   i - é s i m a   f u n ç õ e s   d o   c o m p o n e n t e ,     i = 1,2 , 3,4

A i são eventos independentes e nós temos que P A i = P i , nós precisamos encontrar P ( S ) , Então nós nomeamos os seguintes eventos

B k = e x a t a m e n t e   k   f u n ç õ e s   d e   c o m p o n e n t e s ,     k = 0,1 , 2,3 , 4

Então nós temos

S = P e l o   m e n o s   d u a s   f u n ç õ e s   d e   c o m p o n e n t e s = B 2 ∪ B 3 ∪ B 4

Desde B i , B j são disjuntas para i ≠ j , nós temos que S C = B 0 ∪ B 1 .

Passo 2

Vamos denotar da seguinte forma Q i = 1 - P i = P ( A i C ) , então nós temos que

P B 0 = P ( A 1 C ∩ A 2 C ∩ A 3 C ∩ A 4 C )

Isso é por causa da independência de A i , vamos usar o princípio multiplicativo

P B 0 = P A 1 C P A 2 C P A 3 C P A 4 C = Q 1 Q 2 Q 3 Q 4

Para a probabilidade de B 1 , temos que usar o seguinte teorema

P B 1 = P ⋃ i = 1 4 ⋂ j ≠ i A i A j C

Esse é um princípio baseado em aditividade, agora vamos atacar pela independência de A i

P B 1 = ∑ i = 1 4 P ⋂ j ≠ i A i A j C

Esse termo se transformará em um produtório dentro do somatório

P B 1 = ∑ i = 1 4 P A i ∏ j ≠ i P A j C = ∑ i = 1 4 P i ∏ j ≠ i Q j

Com isso, nós temos

P B 1 = P 1 Q 2 Q 3 Q 4 + Q 1 P 2 Q 3 Q 4 + Q 1 Q 2 P 3 Q 4 + Q 1 Q 2 Q 3 P 4

Temos 4 termos em P(B1) porque existem 4 maneiras de escolher 1 componente entre 4 componentes no sistema. A probabilidade de que um sistema de 2 em 4 funcione é

P S = 1 - P S C = 1 - P ( B 0 ∪ B 1 )

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

P S = 1 - [ P B 0 + P B 1 ]

E finalmente, temos que

P S = 1 - Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 - P 1 Q 2 Q 3 Q 4 - Q 1 P 2 Q 3 Q 4 - Q 1 Q 2 P 3 Q 4 - Q 1 Q 2 Q 3 P 4

Passo 3

B – Vamos repetir o processo de nomear os eventos, que são exatamente esses aqui

S = o   s i s t e m a   3   d e   5

A i = O   i - é s i m o   c o m p o n e n t e   d a   f u n ç ã o ,     i = 1,2 , 3,4 , 5 .

P i e A i são eventos independentes. Nós precisamos encontrar P S então nós nomeamos os eventos

B k = e x a t a m e n t e   k   f u n ç õ e s   d e   c o m p o n e n t e s ,     k = 0,1 , 2,3 , 4,5

Então nós temos

S = P e l o   m e n o s   3   c o m p o n e n t e s = B 3 ∪ B 4 ∪ B 5

Vamos denotar da seguinte forma Q i = 1 - P i = P ( A i C ) , então nós temos que

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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