Enunciado

Uma bola pode estar em qualquer uma de n caixas e tem probabilidade P i   de estar na í-ésima caixa. Se a bola estiver na caixa i, uma busca naquela caixa tem probabilidade a i , de encontrá-la. Mostre que a probabilidade condicional de que a bola esteja na caixa i, dado que a busca pela bola na caixa i não tenha sido bem sucedida, é:

P j 1 - α i P i ,   s e   j ≠ i

1 - α i P i 1 - α i P i ,   s e   j = i

Passo 1

E aí.....tudo belezinha?

Considerando que   A ⊂ B , a intersecção destes conjuntos será igual a B, sendo assim:

P A B = P B ⋂ A P B = P B P B = 1

Considerando isso vemos, que o complementar de B, se torna o A, sendo assim a segunda expressão fica:

P A B c = P A ⋂ B c P A = P A ⋂ A P A = 0

Para a terceira expressão teremos:

P B A =   P A ⋂ B P A = P B P A

Para a última expressão teremos que, o complementar de A não deve pertencer nem a A nem a B, e como o A contém o B, a intersecção entre esses eventos não existirá e consequentemente a probabilidade também não.

P B A c = P B ⋂ A c P A c = ∄

E agora, bora para a próxima questão =)

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