Enunciado

Suponha que o crescimento médio real μ de um tipo de planta durante o período de um ano seja idêntico ao de um segundo tipo, mas a variância de crescimento do primeiro tipo seja σ 2 , enquanto a do segundo é 4 σ 2 . Sejam X 1 , … , X m , m observações independentes de crescimento para o primeiro tipo [assim, E X i = μ , V X i = σ 2 ], e Y 1 , … , Y n , n observações independentes de crescimento para o segundo tipo E Y i = μ , V Y i = 4 σ 2 .

a. Mostre que, para qualquer δ entre 0 e 1, o estimador μ ˆ = δ X ‾ + ( 1 - δ ) Y ‾ é não-tendencioso para μ .

b. Para m e n fixos, calcule V ( μ ˆ ) e depois determine o valor de δ que minimiza V ( μ ˆ ) . [Sugestāo: diferencie V ( μ ˆ ) em relação a δ . ]

Passo 1

Mostre que, para qualquer δ entre 0 e 1, o estimador μ ˆ = δ X ‾ + ( 1 - δ ) Y ‾ é não-tendencioso para μ .

a .   E [ δ X _ + ( 1 - δ ) Y _ ] = δ E ( X _ ) + ( 1 - δ ) E ( Y _ ) = δ μ + ( 1 - δ ) μ = μ

Passo 2

Para m e n fixos, calcule V ( μ ˆ ) e depois determine o valor de δ que minimiza V ( μ ˆ ) . [Sugestāo: diferencie V ( μ ˆ ) em relação a δ . ]

b .   V a r ⁡ [ δ X _ + ( 1 - δ ) Y _ ] = δ 2 V a r ⁡ ( X _ ) + ( 1 - δ ) 2 V a r ⁡ ( Y _ ) = δ 2 σ 2 m + 4 ( 1 - δ ) 2 σ 2 n .

Definir a derivada em relação a δ igual a 0 produz 2 δ σ 2 m + 8 ( 1 - δ ) σ 2 n = 0 da qual δ = 4 m 4 m + n

Resposta

a . μ

b. δ = 4 m 4 m + n

Exercícios de Livros Relacionados

Uma variável aleatória contínua X é uniformemente distribuída sobre·(-1/2 , 1/2) . Uma amostra de tamanho n é obtida de X e a média amostral X - é calculada. Qual é o desvio padrão deX - ?
Verifique que se X 1 , … , X n forem variáveis aleatórias independentes, cada uma tendo uma distribuição exponencial com parâmetro α i , i =1,2,...,n, e se K = min ⁡ ( X 1 , … , X n ) , então K terá u
Na Seç. 13.5, apresentamos um método pelo qual amostras aleatórias de uma distribuição especificada podem ser geradas. Há vários outros métodos pelos quais isto pode ser feito, alguns dos quais são pr
Suponha que X tenha uma distribuição geométrica com parâmetro p. Seja X1,...,Xn uma amostra aleatória de X e sejam M = max ⁡ ( X 1 , … , X n ) e K = min ⁡ X 1 , … , X n . Estabeleça a distribuição de
A duração da vida (em horas) de uma peça é exponencialmente distribuída, com parâmetro β = 0,001 . Seis peças são ensaiadas e sua duração até falhar é registrada. Qual é a probabilidade de que nenhuma