1.

Suponha um experimento consistindo de n   provas de Bernoulli, com propriedades de sucesso p . Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores

a) p ^ 1 = X n

b) p ^ 2 = 1 ,   s e   a   p r i m e i r a   p r o v a   r e s u l t a r   s u c e s s o   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Determine a esperança e variância de cada estimador. Por que p ^ 2 não é um “bom” estimador?

Resolução
2.

Suponha que X segue uma distribuição Normal de média 3 e desvio padrão 0,4 .

Temos uma amostra de 40   unidades de X , e os valores de X são independentes.

Determine a distribuição da média amostral e seus parâmetros, sua esperança e sua variância.

Resolução
3.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades². Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:

7,9       6,8       5,4       7,5       7,9       6,4       8,0       6,3       4,4         5,9

  1. Calcule a estimativa pontual da media populacional, com base nessa amostra.
Resolução
4.

Suponha uma população de estudantes. Queremos saber qual a média populacional da idade desses estudantes. Tomamos uma amostra de 10 estudantes e observamos as seguintes idades:

19   20   20   21   23   25   27   22   28   18

Não temos informações sobre a população, só sobre a amostra. É possível estimar o valor da média populacional mesmo assim? Como se chama esse estimador e de qual tipo ele é?

Resolução
5.

Qual a diferença entre parâmetro, estimador e estimativa? Dê exemplos.

Resolução
6.

Num estudo sobre o peso dos brasileiros, foram pesadas 1000 pessoas escolhidas de forma aleatória. Os resultados desta amostra podem ser denotados por x 1 ,   x 2 ,   … ,   x 1000 . Seja X a variável aleatória representando o peso de um brasileiro selecionado ao acaso. Admita que são conhecidos E X = µ , V a r X = σ 2 e P X > 100 = p a probabilidade de que um brasileiro pese mais que 100 kg.

  1. Sugerir um estimador para o peso médio dos brasileiros, e um estimador para a proporção de pessoas pesando mais que 100   k g .
  2. Expresse a média e a variância destes estimadores, em função de µ , σ ² e p .
  3. X ¯ teria a mesma distribuição se estivéssemos amostrando 1000 pessoas sem reposição dentro de uma cidade cuja população é de 2000 pessoas para estudar o comportamento do peso nesta cidade? (Justificar).
Resolução
7.

O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro.

Resolução
8.

O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro.

Resolução
9.

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,05 m m e um desvio padrão de 0,01 m m .

  1. O departamento de qualidade decidiu amostrar 49 impressoras para verificar seu correto funcionamento, isto é, que o diâmetro do ponto produzido esteja dentro dos critérios de conformidade da produção, e para o qual tolera um erro de 5 % com relação a sua média. Qual a probabilidade de que o ponto médio esteja dentro do intervalo de conformidade?
Resolução
10.

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média μ 1 = 1000 g e desvio-padrão σ 1 = 15 g .

Pacotes de tapioca: média μ 2 = 450 g e desvio-padrão σ 1 = 8 g .

Pacotes de feijão: média μ 3 = 600 g e desvio-padrão σ 1 = 12 g .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

  1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
  2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de 21   k g e desvio-padrão de 4   k g . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre 22 e 19,5   k g .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

Resolução
11.

Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmações abaixo, justiçando sua resposta.

O erro quadrático médio do estimador média amostral sempre converge para zero quando n → ∞ (considerando que esse estimador está sendo utilizado para estimar o parâmetro média populacional com variância finita e conhecida).

Resolução

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