Enunciado

Suponha que X , dado que Y = y , tem distribuição de Poisson com parâmetro y . Se Y é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1 , determine a distribuição de X .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas suponha que X , dado que Y = y , tem distribuição de Poisson com parâmetro y . Se Y é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1 , determine a distribuição de X .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera antes de mais nada precisamos ter em mão a equação de Bernoulli que é representada por,

P X = x = ∑ i = 1 n n x . p x . 1 - p n - x

Tendo y como uma distribuição de variável aleatória exponencial de parâmetro 1 que é,

P X = x = ∑ i = 1 n n y . p y . 1 - p n - y

Ficando,

P X = 1 = ∑ i = 1 n n 1 . p 1 1 - p n - 1

Ficando,

P X = 1 = ∫ 0 1 p 1 1 - p   d p

Que vai ser definida por,

∫ 0 1 p 1 1 - p   d p → p 2 2 1 - p 2 = p , p + 1 , … ,   p + n

Assim defina-se x como,

p x = { 1,2 , … , n + 1 }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

p x = { 1,2 , … , n + 1 }

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