Enunciado

Suponha que se deseje estimar a proporção p de indivíduos com certa moléstia em uma dada região. Selecionou-se uma amostra aleatória de 100 pessoas e constatou-se que 25 eram portadoras da moléstia.

A. Calcule a estimativa pontual da proporção p .

B. Construa um intervalo de confiança para p com coeficiente de confiança γ = 0,95 . Qual o comprimento do intervalo?

C. Um pesquisador acredita que a proporção de doentes é superior a 20 % %. Teste essa hipótese ao nível α = 0,05 . Formule as hipóteses nula e alternativa.

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

O exercício nos pede um intervalo de confiança para p com coeficiente de confiança γ = 0,95 e determinar o comprimento desse intervalo.

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá!

Se γ = 0,95 , então Z 0,475 = 1,96 .

Assim,

I C p ,   95 % = p ^ - Z γ 2 × p ^ × 1 - p ^ n ;   p ^ + Z γ 2 × p ^ × 1 - p ^ n

= 0,25 - 1,96 × 0,25 × 0,75 100 ;   0,25 + 1,96 × 0,25 × 0,75 100 = 0,165 ; 0,335 .

Passo 3

E o comprimento do intervalo, que neste caso é o intervalo otimista, é:

0,335 - 0,165 = 0,17 .

Também podemos construir um intervalo conservador:

I C p ,   95 % = p ^ - Z γ 2 × 1 4 × n ;   p ^ + Z γ 2 × 1 4 × n

= 0,25 - 1,96 × 1 400 ;   0,25 + 1,96 × 1 400 = 0,152 ; 0,348 .

E neste caso, o comprimento do intervalo é:

0,348 - 0,152 = 0,196 .

Resposta

E assim concluímos.

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