Enunciado

Sabe-se que o tempo necessário para percorrer uma determinada rota no final da tarde pode ser estudado por um modelo Normal com desvio padrão de 17 minutos. Foram instalados sensores para controlar o tempo de abertura dos semáforos presentes na rota e deseja-se verificar se o tempo gasto para completar o percurso diminuiu. Estudos anteriores indicam que o tempo de deve continuar se comportando segundo um modelo Normal, com mesmo desvio padrão. Com os sensores desativados, 11 veículos de mesmo ano e marca, denominado Grupo de Controle, tiveram o tempo gasto no percurso anotado. Em seguida, os sensores foram ativados e outros 13 veículos (grupo teste) percorreram a mesma rota. Os tempos observados, em minutos, foram os seguintes:

Indique se o uso dos sensores contribui para diminuir o tempo médio de percurso utilizando o nível descritivo do teste.

Passo 1

Caraca, mó textão de facebook, então tá neh!

Mas perceba que a única coisa que ele quis dizer é que precisamos testar se o tempo médio gasto no percurso é diminuído após a aplicação dos sensores.

Antes de seguir, vamos definir nossa variável:

X = t e m p o   l e v a d o   p a r a   p e r c o r r e r   o   p e r c u r s o ( e m   m i n u t o s )

Beleza, só que quando fazemos comparações de médias antes de mais nada temos sempre que perguntar sobre a variância; repara que o enunciado deixa a entender que, COM OU SEM o sensor, o desvio padrão é 17 minutos.

Isso significa então que trata-se de um teste para a média de duas populações com variâncias conhecidas e iguais; então utilizaremos a seguinte aproximação pela normal padrão:

Z = X - C - X - T - μ C - μ T σ C 2 n C + σ T 2 n T ~ N 0,1

Onde conhecemos as variâncias populacionais e os tamanhos de cada amostra:

σ C 2 = σ T 2 = 17 2 m i n 2

E

n C = 11   v e í c u l o s         e         n T = 13   v e í c u l o s  

Falta obtermos a média amostral:

X - C = ∑ i = 1 11 x i n C = 392 11 ≅ 35,64   m i n u t o s

E

X - T = ∑ i = 1 13 x i n T = 353 13 ≅ 27,15 m i n u t o s

Passo 2

Vamos definir de umavez por todas quem são as nossas hipóteses:

H 0 :   μ C = μ T         c o n t r a           H 1 :   μ C > μ T

Por que? Ora pois, porque queremos saber se o tempo gasto no grupo de teste realmente foi menor do que no grupo de controle. Se eu rejeito H 0 então posso afirmar que a média realmente foi menor após os sensores; caso contrário, eu aceito H 0 e afirmo que elas se manteram pelo menos iguais.

Feito isso, como o enunciado pede para usarmos nível descritivo, vamos relembrar do que se trata.

Bom o nível descritivo nada mais é do que a chance de a gente achar um valor mais extremo do que o obtido no teste; em outras palavras:

P Z ≥ z 0 = α *   o u   P Z ≤ - z 0 = α *

Passo 3

Huuuum! Mas quem é aquele zezinho alí? Ele é a estatística do teste, encontramos ele realizando o teste sob H 0 . Vamos a isso então:

z 0 = 35,64 - 27,15 - μ C - μ T 17 2 11 + 17 2 13 =

Como em H 0 ,     μ C = μ T :

z 0 = 35,64 - 27,15 - 0 17 2 11 + 17 2 13 ≅ 1,22

Ou seja, queremos encontrar:

α * = P Z ≥ 1,22

Para isso, basta irmos na tabela de distribuição Normal:

Portanto:

P 0 ≤ Z ≤ 1,22 = 0,38877

Mas cuidado!! Essa ainda não é a resposta, pois todo o corpo da tabela fornece as probabilidades de:

P ( 0 ≤ Z ≤ z )

Como queremos a chance de ser maior do que z e lembrando que o gráfico da normal possui cada metade valendo 0,5 então devemos fazer o seguinte:

0,5 = P 0 ≤ Z ≤ 1,22 + P Z ≥ 1,22

E então:

P Z ≥ 1,22 = 0,5 - 0,38877 ≅ 0,111 = α *

Agora, você lembra que para valores muito pequenos de nível descritivo nós rejeitamos H 0 ? Mas a gente encontrou α * ≅ 11,1 % , o que não podemos considerar como sendo um valor pequeno.

Se você ainda não está convencido de que 11% não é um valor pequeno, basta você lembrar que quase sempre a gente considera um nível de significância de 5% α ; e que quando:

α * ≥ α

Nós devemos ACEITAR a hipótese nula; 11,1 % > 5 % , certo? Então vamos aceitar H 0 .

Resposta

Podemos concluir que muito provavelmente os sensores não foram eficientes em reduzir o tempo necessário para a realização do percurso.

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