Enunciado

Suponha um experimento consistindo de n provas de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores:

Verifique se p1 e p2 são consistentes.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para calcularmos a os limites de cada um dos estimadores dados. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser achar a distribuição para o nosso estimador.

X   ~   B i n o m i a l n ; p

E X = n p

V a r X = n p 1 - p X 1   ~   B i n o m i a l p

E X 1 = p

V a r X 1 = p 1 - p

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular para p1 e p2!!

lim n → ∞ ⁡ E p 1 =   p

lim n → ∞ ⁡ V a r p 1 = 0

lim n → ∞ ⁡ E p 2 = p

lim n → ∞ ⁡ V a r p 2 ≠ 0

Somente o estimador p1 é consistente, pois o limite de sua esperança é igual ao parâmetro e o limite de sua variância é igual a zero.

Resposta

Somente P1 é consistente

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