Enunciado

Suponha que E(X) = 5 e E[X(X - 1)] =27,5. Qual é

a. E(X²)? [Sugestão: E[X(X - 1)] = E[X² - X] = E(X² ) - E(X)]?

b. V(X)?

c. A relação geral entre as quantidades E(X), E[X(X - 1)] e V(X)?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Nos é dado

E X = 5

E

E X X - 1 = 27.5

Passo 2

  1. Conforme dado na dica, devemos primeiro verificar que
  2. E X X - 1 = E X 2 - E X

    O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com um conjunto de valores possíveis S e pmf p(x)p(x), denotados como E[g(X)] μ g x

    E g X =   μ g x =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

    Para g X = X ( X - 1 ) nós temos

    E X X - 1 =   ∑ x   ∈ S g x ∙ p x =   ∑ x   ∈ S x x - 1 ∙ p x =   ∑ x   ∈ S x 2 ∙ p x -   ∑ x   ∈ S x ∙ p x

    = E X 2 - E X ;

    Usando o que acabamos de provar

    E X 2 = E X X - 1 + E X = 27.5 + 5 = 32.5

    Passo 3

  3. O seguinte é verdadeiro
  4. V X =   σ 2 = [ ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p ( x ) ] -   μ 2 =   E X 2 - E X 2

    Da preposição, temos que o seguinte é verdadeiro

    V X = E X 2 - E X 2 = 32.5 - 5 2 = 7.5

  5. Usando a fórmula de atalho, o seguinte é verdade

V X = E X 2 - E X 2 = E X X - 1 + E X - [ E X ] ²

Resposta

  1. E X 2 = 32.5
  2. V X =   7.5
  3. V X = E X X - 1 + E X - [ E X ] ²

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