Enunciado

Uma grande indústria compra diversos novos processadores de texto no final de cada ano, sendo que o número exato de processadores depende da frequência dos reparos no ano anterior. Suponha que o número de processadores, X, que são comprados a cada ano tenha a seguinte distribuição de probabilidade:

Se o custo do modelo desejado permanecer fixo em $ 1.200 durante este ano e um desconto de 50 X 2 (em dólares) for creditado em relação a qualquer compra, quanto a empresa espera gastar em novos processadores de texto no final deste ano?

Passo 1

A minha reação após ler esse enunciado:

Mas vamos com CALMA, que resolveremos ele tranquilamente!

Primeiro vamos entender do que o problema se trata.

Primeiro ele nos dá uma variável aleatória X, que corresponde ao número de processadores que são comprados a cada ano e além disso nos dá uma tabela com a sua distribuição de probabilidade.

Depois ele nos diz que o custo do modelo é fixo e permanece em $1200 e além disso ele consegue um desconto de $ 50 X 2

E ele faz a pergunta, quanto a empresa espera gastar em novos processadores no final deste ano?

Show! Agora temos tudo destrinchado, primeiro vamos definir a variável que vamos utilizar nesse problema.

Nesse caso, ele quer saber o valor esperado do valor gasto no final do ano.

Então, uma variável que facilita pra gente é   Y   =   1200 X   -   50 X 2 pois Y é exatamente o nosso gasto.

Passo 2

Agora, depois de toda essa releitura e nos acalmarmos um pouco, podemos definir a fórmula que vamos usar, que é:

E g x = ∑ x g x f ( x )

E nesse caso Y é nosso g ( x ) , pois esta varia de acordo com X .

Vamos definir agora g x = 0 , g x = 1 , g x = 2 e   g x = 3 .

Lembrando que Y = g x = 1200 X - 50 X 2

g x = 0 = 1200 × 0 - 50 × 0 2 = $ 0

g x = 1 = 1200 × 1 - 50 × 1 2 = $ 1150  

g x = 2 = 1200 × 2 - 50 × 2 2 = $ 2200

g x = 3 = 1200 × 3 - 50 × 3 2 = $ 3150

Passo 3

Agora que temos todos os termos da fórmula definidos, vamos substituí-los:

E g x = $ 0 1 10 + $ 1150 3 10 + $ 2200 2 5 + $ 3150 1 5 = $ 1855

Resposta

A empresa espera gastar $ 1855 em novos processadores de texto no final deste ano.

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