Enunciado

Suponha uma população P   =   { 1 ,   2 , . . . ,   N } e a v.a. X definida sobre   P . Então, T = ∑ i = 1 N X i é chamado total populacional. A média populacional é μ   =   T / N e a variância populacional é σ 2 = ∑ i = 1 N X i - μ 2 / N . Considere uma AAS de tamanho n extraída de P e X - a média amostral. Considere o estimador T   ^ =   N X - . Mostre q u e   E ( T   ^ )   =   T e V a r   T   ^ =   N 2 σ 2 / n .

Passo 1

O exercício nos pede para supor que uma população P   =   { 1 ,   2 , . . . ,   N } e a v.a. X definida sobre   P . Assim, podemos concluir que T = ∑ i = 1 N X i é chamado total populacional, certo?

A média populacional é μ   =   T / N e a variância populacional é σ 2 = ∑ i = 1 N X i - μ 2 / N , tudo isso com base na definição que estudamos ao longo do capítulo. Ok?

Considerando então uma AAS de tamanho n extraída de P e X - a média amostral, e também o estimador T   ^ =   N X - , iremos mostrar que:

E T   ^ =   T

E

V a r   T   ^ =   N 2 σ 2 / n .

Passo 2

De fato, pois basta observar que:

T ^ = N × X   -

Daí,

V a r T ^ = N 2 × V a r X   - = N 2 × σ 2 n .

E por isso, concluímos nossa demonstração.

Alguma duvida? Se sim, é hora de revisar mais uma vez essa questão. Ok?

Resposta

Assim, concluímos o exercício.

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