Enunciado

Uma empresa fabrica cilindros com 50   m m de diâmetro, sendo o desvio padrão 2,5   m m . Os diâmetros de uma amostra de quatro cilindros são medidos a cada hora. A média da amostra é usada para decidir se o processo de fabricação está operando satisfatoriamente. Aplica-se a seguinte regra de decisão: “Se o diâmetro médio de amostra de quatro cilindros for maior ou igual a 53,7   m m , ou menor ou igual a 46,3   m m , deve-se parar o processo. Se o diâmetro médio estiver entre 46,3 e 53,7   m m , o processo continua”.

  1. Qual é a probabilidade de se parar o processo se a média dos diâmetros permanecer em 50   m m ?
  2. Qual é a probabilidade de o processo continuar se a média dos diâmetros se deslocar para 53,7   m m ?

Passo 1

Em a , temos que X - ~ N 50 ,     2,5 2 4 . A probabilidade de parar o processo é:

P X - ≥ 53,7 + P X - ≤ 46,3 = 1 - P 46,3 < X - < 53,7

= 1 - P 46,3 - 50 2 2,5 < X - - 50 2 2,5 < 53,7 - 50 2 2,5

= 1 - P 46,3 - 50 2 2,5 < Z < 53,7 - 50 2 2,5 = 1 - P - 3,7 2 2,5 < Z < 3,7 2 2,5

= 1 - P 13,69 2,5 < Z < 13,69 2,5 = 1 - P - 5,476 < Z < 5,476

= 1 - 2 × P 0 < Z < 5,476 = 1 - 2 × 0,49846 = 0,00308 .

Passo 2

Em b , temos que X - ~ N 50 ,     2,5 2 4 . A probabilidade de o processo continuar, se a média dos diâmetros se deslocar para 53,7 m m é:

P 46,3 < X - < 53,7 = P 46,3 - 53,7 2 2,5 < X - - 53,7 2 2,5 < 53,7 - 53,7 2 2,5

= P - 7,4 2 2,5 < X - - 53,7 2 2,5 < 0 2 2,5 = P 54,76 2,5 < X - - 53,7 2 2,5 < 0 2,5

= P - 5,92 < X - - 53,7 2 2,5 < 0 = P - 5,92 < Z < 0

= P 0 < Z < 5,92 = 0,5 .

Resposta

Logo, as probabilidades são 0,00308   e 0,5 , respectivamente.

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