Enunciado

Suponha que queiramos gerar o resultado da jogada de uma moeda honesta, mas que tudo o que tenhamos a nossa disposição seja uma moeda viciada que dá cara com alguma probabilidade desconhecida p diferente de 1/2. Considere o seguinte procedimento para realizar nossa tarefa:

1. Jogue a moeda.

2. Jogue a moeda de novo.

3. Se ambas as jogadas resultarem em duas caras ou duas coroas, volte para o passo 1.

4. Deixe que o resultado da última jogada seja o resultado do experimento.

(a) Mostre que o resultado tem a mesma probabilidade de dar cara ou coroa.

(b) Poderíamos usar um procedimento mais simples no qual continuamos a lançar a moeda até que as duas últimas jogadas sejam diferentes e então deixamos com que o resultado seja aquele obtido na última jogada?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos assumir que a moeda tem a seguinte probabilidade para cara

P C A = p

E para coroa, nós teremos o complementar da probabilidade anterior, com isso, nós temos que

P C O = 1 - p

Obviamente, nós estamos entendendo esses eventos como independentes, e por isso, seguem essa propriedade aqui

P C A , C O = P C A ∙ P ( C O )

Dada essa introdução, podemos partir para as letras do enunciado, vamos lá!! 😊

Passo 2

A - A primeira maneira de pensar leva o resultado do segundo lance se dois forem diferentes. A probabilidade de obter caras dessa maneira é:

P C A , C O | { C O , C A , C A , C O } = P C O , C A ∩ { C O , C A , ( C A , C O ) } ) P ( C O , C A , C A , C O } )

Simplificando esta probabilidade, nós obtemos a seguinte configuração

P C O ∙ P ( C A ) P C O ∙ P C A + P C A ∙ P ( C O )

Agora, o ponto é somente substituir esses valores, que nós já encontramos

P C A , C O | { C O , C A , C A , C O } = 1 - p ∙ p 1 - p ∙ p + p ∙ 1 - p

Desenvolvendo este termo, nós temos que

P C A , C O | { C O , C A , C A , C O } = ( 1 - p ) p ( 1 - p ) 2 p = 1 2

A probabilidade de dar cara é de 50%, o que indica que a moeda é justa.

Passo 3

B - Este método pega o resultado do primeiro lançamento de moeda que ainda não foi visto. Então, se os lançamentos são cara, cara, cara, coroa, o final é coroa. Isso significa que coroa é o resultado se e somente se o primeiro lançamento for cara, então o primeiro resultado diferente for coroa.

Agora o resultado tem distribuição P(coroa) = p e P(cara) = 1-p. Reverso da distribuição da moeda

Resposta

a )   M é t o d o   A - a   m o e d a   é   j u s t a

b )   M é t o d o   B - P c o r o a = p   e   P c a r a = 1 - p

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