Enunciado

Suponha as seguintes características do processo de inspeção no Exercício 2-147. Se um operador verificar o parafuso, a probabilidade de um parafuso rosqueado incorretamente ser identificado é de 0,95. Se um parafuso verificado tiver sido rosqueado corretamente, a conclusão do operador será sempre correta. Qual é a probabilidade de no mínimo um parafuso na amostra de quatro ser identificado como sendo rosqueado incorretamente?

Passo 1

Vamos lembrar do exercício 2-147.

Vamos denotar com variável aleatória X o número de parafusos incorretos selecionados na amostra aleatória de 4 parafusos de um total de 20 parafusos, dos quais 5 são incorretos.

O operador funciona da seguinte maneira:

  • Se o parafuso estiver incorreto, o operador o identifica como incorreto com probabilidade 0,95 e é confundido com probabilidade 0,05.
  • Se o parafuso estiver correto, o operador identifica-o como correto.

Nós temos que calcular a probabilidade de o operador identificar pelo menos um parafuso (na amostra aleatória) como incorreto (independentemente de o parafuso estar realmente incorreto ou correto).

Passo 2

Vamos introduzir a variável aleatória Y como o número de parafusos que o operador identifica como incorreto. (Nota: é claro que no geral X ≠ Y ) . Então, vamos calcular:

P ( Y ≥ 1 ) = 1 - P ( Y = 0 )

É mais fácil calcular

P ( Y = 0 )

com a análise de casos da variável X .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que no exercício 2-147, foi calculado que:

P ( X = 0 ) = 0.282

Geralmente, lembrando o significado dos coeficientes binomiais (ou notando que X é

uma variável aleatória hipergeométrica, vamos ver na seção de variáveis aleatórias discretas ​​no livro) nós podemos ver que:

P ( X = k ) = C 5 k × C 15 ( 4 - k ) C 20 4

Agora, a gente pode analisar os casos:

  • X = 0 , aqui certamente Y = 0 , porque o operador identifica os parafusos corretos

como corretos.

  • X = 1 , aqui Y = 0 com probabilidade 0.05 , porque existe 1 parafuso que está incorreto e operador se confunde com a probabilidade 0.05 .
  • X = 2 , aqui Y = 0 com probabilidade 0.0 5 2 , porque existem 2 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade 0.05 .
  • X = 3 , aqui Y = 0 com probabilidade 0.0 5 3 , porque existem 3 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade 0.05 .
  • X = 4 , aqui Y = 0 com probabilidade 0.0 5 4 , porque existem 4 parafusos incorretos e o operador se confunde com a probabilidade 0.05 .

Passo 4

Finalmente, vamos avaliar de acordo com os casos acima e com a primeira equação dessa questão:

P ( Y = 0 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) × 0.05 + P ( X = 2 ) × 0.0 5 2 + P ( X = 3 ) × 0.0 5 3 + P ( X = 4 ) × 0.0 5 4

E então:

P ( Y ≥ 1 ) = 0.694

Resposta

0.694

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