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Exercícios Resolvidos de Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros - 4.Exercícios - 77

Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com média igual a 10. Determine o seguinte:

  1. P ( X > 10 )
  2. P ( X > 20 )
  3. P ( X < 30 )
  4. Encontre o valor de x tal que P ( X < x ) = 0.95

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = 10

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

10 = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

10 = 1 λ

λ = 0.1

Daí, vamos calcular a letra a até c:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra a:

P ( X > 10 ) = 1 - F ( 10 ) = e - 0.1 × 10 = e - 1 = 0.37

Passo 3

Letra b:

P ( X > 20 ) = 1 - F ( 20 ) = e - 0.1 × 20 = e - 2 = 0.135

Passo 4

Letra c:

P ( X < 30 ) = F ( 30 ) = 1 - e - 0.1 × 30 = 0.95021 ≈ 0.95

Passo 5

Letra d:

Vamos escrever a equação:

0.95 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 0.1 × x

E resolver para obter x :

x =   - 1 0.1 l n 0.05 = 29.957 ≈ 30

Resposta

  1. 0.37
  2. 0.135
  3. 0.9502
  4. 29.957

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