Enunciado

Suponha que X tenha uma distribuição lognormal. cum parâmetros θ = - 2 e ω 2 = 9 . Determine o seguinte:

  1. P
  2. O valor para x, tal que P(X

(c) A média e a variância de X

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ =   - 2 e ω 2 = 9 . Lembre-se das fórmulas para a função de distribuição cumulativa, média e variância da distribuição lognormal:

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

E ( X ) = e θ + ω 2 2

V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

Passo 2

Letra a:

Calculando usando as tabelas:

P ( 500 < X < 1000 ) = F ( 1000 ) - F ( 500 ) = Φ ( l n 1000 + 2 3 ) - Φ ( l n 500 + 2 3 ) = 0.0016

Passo 3

Letra b:

Vamos escrever a seguinte equação:

0.1 = P ( X < x ) = F ( x ) = Φ ( l n x + 2 3 )

o que nos dá (de novo, vamos usar as tabelas ou o software):

0.1 = P ( X < x ) = F ( x ) = Φ ( l n x + 2 3 )

Resolvendo a equação para obter x:

x   ≈   2.9 × 1 0 - 3

Passo 4

Letra c:

Vamos calcular a média e a variância usando as fórmulas:

E ( X ) = 12.18

V a r ( X ) = 1202456

Resposta

  1. 0.0016
  2. 2.9 × 1 0 - 3
  3. 12.18 e 1202456
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