Enunciado

Suponha que X tenha uma distribuição lognormal, com parâmetros θ = 5 e ω 2 = 9 . Determine o seguinte:

  1. P ( X < 13.300 )
  2. O valor para x, tal que P ( X ≤ x ) = 0.95
  3. A média e a variância de X.

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ = 5 e ω 2 = 9 . Vamos lembrar das fórmulas para a função de distribuição cumulativa, média e variância da distribuição lognormal:

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

E ( X ) = e θ + ω 2 2

V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

Passo 2

Letra a:

Calculando usando as tabelas:

P ( X < 13300 ) = F ( 13300 ) = Φ ( l n 13300 - 5 3 ) ≈ 0.93

Passo 3

Letra b:

Agora, vamos escrever a equação:

0.95 = P ( X ≤ x ) = F ( x ) = Φ ( l n x - 5 3 )

o que nos dá (de novo, vamos usar as tabelas ou algum software):

l n x - 5 3 = 1.645

E assim, vamos resolver a equação para obter x:

x   ≈   20640

Passo 4

Na letra c:

Vamos calcular a média e a variância usando fórmulas:

E ( X ) = e 5 + 3 2 2 = 13359.73

V a r ( X ) = e 10 + 9 ( e 9 - 1 ) = 1.446079 × 1 0 12

Resposta

  1. 0.93
  2. 20640
  3. 13359.73 e 1.446079 × 1 0 12
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