Enunciado

Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série de operações seja realizada em uma rápida sucessão.

Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído de acordo com uma normal de média 90   m i n u t o s   e desvio padrão de 20   m i n u t o s .

  1. Para passar no teste, o candidato deve completa-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos tomam o teste, quantos são esperados passar?

Passo 1

Antes de tudo, vamos definir nossas variáveis:

X = T e m p o   p a r a   c o m p l e t a r   o   t e s t e   e m   m i n u t o s .

E

Y = Q u a n t i d a d e   d e   a p r o v a d o s .

Perceba que,

X ~ N 90   ; 20 2

Enquanto:

Y ~ B i n o m i a l ( n ; p )

Na alternativa A precisamos obter p da binomial, será dado por:

P X < 80 = p

Agora, se você se lembrar, usamos a seguinte aproximação pela normal padrão para X :

Z = X - μ σ ~ N ( 0,1 )

Então, na probabilidade:

P X < 80 = P Z < 80 - μ σ = P Z < 80 - 90 20

Passo 2

Portanto:

P X < 80 = P Z < - 0,5

Lembrando que, na verdade buscamos:

P - ∞ < Z ≤ 0 - P - 0,5 < Z < 0 = P ( Z < - 0,5 )

Onde, devido ao fato do gráfico ser simétrico e portanto cada lado terá 0,5 :

P - ∞ < Z ≤ 0 = P 0 ≤ Z < + ∞ = 0,5

Agora, buscando na tabela de distribuição normal:

Encontramos:

P 0 < Z < 0,50 = 0,19146 = P ( - 0,50 < Z < 0 )

Portanto:

P Z < - 0,5 = 0,5 - 0,19146 = 0,3085

E agora, perceba que p = 0,3085 é a probabilidade de alguém concluir o teste em menos de 80   m i n u t o s .

Precismos agora, obter quantos dentre 65 pilotos, consiguirão tal feito:

Passo 3

Buscamos então o valor de esperado de Y sabendo que

Y ~ B i n o m i a l ( 65 ; 0,3085 )

Se você se lembrar, o valor esperado de um variável com modelo binomial é dado por:

E Y = μ = n p

Portanto:

E Y = 65 0,3085 ≅ 20  

Resposta

Concluimos que dentre 65 candidatos, esperamos que 20 deles obtenham um tempo menor do que 80   m i n u t o s no teste.

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