Enunciado

Se X e Y tiverem uma distribuição normal de variada, com função densidade de probabilidade conjunta, mostre que a distribuição de probabilidades marginais de X é normal, com média e desvio padrão. Sugestão: complete o quadrado no expoente e os e o fato de a integral de uma função densidade probabilidade normal para uma única variável ser igual a um.

Passo 1

Então gente, calculamos as funções de densidade marginal como:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞   f X Y ( x , y ) d y

A função de densidade de probabilidade de uma distribuição normal bivariada é:

f X Y x , y = 1 2 π σ X σ Y 1 - ρ 2 × e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 - 2 ρ x - μ X y - μ Y σ X σ Y + y - μ Y 2 σ Y 2

  p a r a   - ∞ < x < ∞   e   - ∞ < y < ∞   c o m   p a r â m e t r o s   σ X > 0 , σ Y > 0 - ∞ < μ X < ∞ , - ∞ < μ Y < ∞ ,   e     - 1 ≤ ρ ≤ 1

Nós sabemos o seguinte:

∫ - ∞ ∞   f X ( x ) d x = 1

Vamos, então, começar com o expoente:

x - μ X 2 σ X 2 - 2 ρ x - μ X y - μ Y σ X σ Y + y - μ Y 2 σ Y 2 = = y - μ Y 2 σ Y 2 - 2 ρ x - μ X y - μ Y σ X σ Y + ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 + x - μ X 2 σ X 2 = = y - μ Y σ Y - ρ x - μ X σ X 2 + 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2

Passo 2

Nosso objetivo é usar o fato de que a integral de uma função de densidade de probabilidade normal para uma única variável é 1.

Temos expoentes, então podemos separar a soma acima em duas funções exponenciais.

Observe o primeiro expoente:

y - μ Y σ Y - ρ x - μ X σ X = = 1 σ Y y - μ Y - ρ σ Y x - μ X σ X = = 1 σ Y y - μ Y + ρ σ Y σ X x - μ X

Agora obtemos o produto das duas funções expoentes a seguir:

e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2

e

e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 ⋅ 1 σ Y 2 y - μ Y + ρ σ Y σ X x - μ X 2

Observe o seguinte:

1 2 π σ X σ Y 1 - ρ 2 = 1 2 π σ X ⋅ 1 2 π σ Y 1 - ρ 2

e também que a primeira função expoente depende apenas de x, que nós iremos usar. Mas antes disso, agora podemos separar a função de densidade de probabilidade no seguinte produto:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π �� X e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 1 - ρ 2 x - μ X 2 σ X 2 × × 1 2 π σ Y 1 - ρ 2 e x p ⁡ - 1 2 1 - ρ 2 ⋅ 1 σ Y 2 y - μ Y + ρ σ Y σ X x - μ X 2

ou

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2 × × 1 2 π σ Y 1 - ρ 2 e x p ⁡ - y - μ y + ρ σ Y σ X x - μ X 2 2 1 - ρ 2 σ Y 2

Passo 3

O que precisamos observar aqui é que a primeira função do produto é a função de probabilidade de densidade de uma variável de dimensão com parâmetros:

μ X e σ X

e a segunda função no produto é a função de densidade de probabilidade de uma variável de dimensão com parâmetros:

μ y + ρ σ Y σ X x - μ X

E

1 - ρ 2 σ Y

Passo 4

Usando isso, e o fato de que a primeira função é apenas função de x e não de y, temos:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞   1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2 × × 1 2 π σ Y 1 - ρ 2 e x p ⁡ - y - μ y + ρ σ Y σ X x - μ X 2 2 1 - ρ 2 σ Y 2 d y = = 1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2 ×

× ∫ - ∞ ∞   1 2 π σ Y 1 - ρ 2 exp ⁡ - y - μ y + ρ σ Y σ X x - μ X 2 2 1 - ρ 2 σ Y 2 d y = = 1 2 π σ X e x p ⁡ - x - μ X 2 2 σ X 2

Vemos que a função é na verdade uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória que é normalmente distribuída com parâmetros μ X e σ X .

Resposta

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