Enunciado

Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de precisão, existem uma pequena chance de subestimação ou superestimação das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada fábrica:

As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de:

  1. Haver superestimação de medidas?
  2. Não haver subestimação das medidas efetuadas?
  3. Dando medidas exatas, ter disso fabricado em III?
  4. Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas?

Passo 1

Em (a) temos de encontrar a probabilidade de haver a superestimação de medidas ao pegar um aparelho produzido por uma das 3 fábricas, daí, teremos:

P S u p e r e s t i m a ç ã o = A p a r e l h o s   F 1 × s u p e r e s t i m a ç ã o + A p a r e l h o s   F 2 × s u p e r e s t i m a ç ã o + ( A p a r e l h o s   F 3 × s u p e r e s t i m a ç ã o )

P S u p e r e s t i m a ç ã o = 0,2 × 0,01 + 0,3 × 0,015 + 0,5 × 0,01 = 0,0115

Passo 2

Em (b) queremos encontrar a probabilidade de não haver subestimação das medidas efetuadas, ou seja, podemos ter medidas superestimadas e medidas exatas, assim:

P N ã o   h a v e r   s u b e s t i m a ç ã o = 1 - P s u b e s t i m a ç ã o

P N ã o   h a v e r   s u b e s t i m a ç ã o = 1 - = 1 - [ A p a r e l h o s   F 1 × s u b e s t i m a ç ã o + A p a r e l h o s   F 2 × s u b e s t i m a ç ã o + A p a r e l h o s   F 3 × s u b e s t i m a ç ã o ]

P N ã o   h a v e r   s u b e s t i m a ç ã o = 1 - 0,2 × 0,01 + 0,3 × 0,005 + × 0,5 × 0 = 0,9965

Passo 3

Em (c), dando medidas exatas, querendo encontrar a probabilidade de termos aparelhos fabricados pela fábrica III. Para isso, vamos encontrar inicialmente a probabilidade de dar medidas exatas, assim:

P e x a t a s = A p a r e l h o s   F 1 × e x a t a s + A p a r e l h o s   F 2 × e x a t a s + ( A p a r e l h o s   F 3 × e x a t a s )

P e x a t a s = 0,2 × 0,98 + 0,3 × 0,98 × 0,5 × 0,99 = 0,985

Agora, vamos calcular a probabilidade condicional, sabendo a probabilidade das medidas serem exatas, vamos encontrar a probabilidade do aparelho ser da fábrica III, assim:

P F a b . I I I E x a t a s = P E x a t a s ∩ F a b . I I I P e x a t a s = P E x a t a s F a b . I I I × P F a b . I I I P e x a t a s

P F a b . I I I E x a t a s = 0,99 × 0,5 0,985 = 0,5025

Passo 4

Em (d) sabemos que os aparelhos tem medidas não subestimadas, então, queremos saber a probabilidade de terem sido feitos pela fábrica I. Já calculamos a probabilidade das medidas não serem subestimadas, assim:

P F a b . I N ã o   S u b e s t i m a d a s = P N ã o   S u b e s t i m a d a s ∩ F a b . I P N ã o   S u b e s t i m a d a s = P N ã o   S u b e s t i m a d a s F a b . I × P F a b . I P N ã o   S u b e s t i m a d a s

P F a b . I N ã o   S u b e s t i m a d a s = 0,99 × ( 0,2 ) 0,9965 = 0,1987

Resposta

Logo,

  1. 0,0115;
  2. 0,9965;
  3. 0,5025;
  4. 0,1987.
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