Enunciado

Tubos de magnétron são produzidos em uma linha de montagem mecanizada. Um plano amostrai é usado periodicamente para avaliar a qualidade no comprimento dos tubos. Essa medição é sujeita a incertezas. Acredita-se que a probabilidade de que um tubo aleatório atinja a especificação seja de 0,99. Um plano amostrai é usado no qual os comprimentos de cinco tubos são medidos.

(a) Mostre que a função de probabilidade de Y o número de tubos, dentre os cinco selecionados, que atingem a especificação de comprimento, é dada pela seguinte função de probabilidade discreta

f y = 5 ! y ! 5 - y ! 0,99 y 0,01 5 - y

Para y = 0 ,   1 ,   2   ,   3 ,   4 ,   5 .

(b) Suponha que seleções aleatórias sejam realizadas na linha de montagem e três tubos estejam fora das especificações. Use a f ( y ) dada para apoiar ou refutar a conjectura de que a probabilidade de que um único tubo atinja as especificações seja 0,99.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Na primeira parte da questão, precisamos provar que a função de probabilidade é a dada pelo enunciado.

Na segunda parte, vamos usar a definição de probabilidade condicional para achar a probabilidade. Sendo ela definida, nessa questão, por:

P Y = 1 Y ≤ 2 = P Y = 1 ∩ Y ≤ 2 P ( Y ≤ 2 )

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Vamos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória Y assuma o valor y para { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 } .

Para cada tudo, há uma probabilidade de 0,99 de que o tubo atenda as especificações de comprimento e uma probabilidade de 0,01 de não atender.

Então, se os tubos y atendem as especificações de comprimento, os outros 5 - y não irão atender, e a probabilidade disso é:

0,99 y 0,01 5 - y

O que nos resta é contar o número de maneiras pelas quais se pode escolher os y tubos que atendem as especificações de comprimento. Para isso, usamos combinações, que nos resulta no seguinte número de maneiras:

5 y = 5 ! y ! 5 - y !

Por fim, a probabilidade que queremos é obtida pela multiplicação das funções que achamos:

f y = 5 ! y ! 5 - y ! 0,99 y 0,01 5 - y

Passo 3

Nós sabemos que dos 5 tubos que serão selecionados, 3 deles não atendem as especificações. Logo, Y ≤ 2 já que apenas 2 dos tubos poderão atender as especificações.

Precisamos encontrar a probabilidade de que exatamente 1 de 5 tubos atendam as especificações, quando sabemos que no máximo 2 podem atender.

Usando a probabilidade condicional:

P Y = 1 Y ≤ 2 = P Y = 1 ∩ Y ≤ 2 P ( Y ≤ 2 )

= P ( Y = 1 ) P Y = 0 + P Y = 1 + P ( Y = 2 )

= f ( 1 ) f 0 + f 1 + f ( 2 )

= 5 1 ∙ 0,99 1 0,01 4 5 0 ∙ 0,99 0 0,01 5 + 5 1 ∙ 0,99 1 0,01 4 + 5 2 ∙ 0,99 2 0,01 3

P Y = 1 Y ≤ 2 = 0,005

Por fim, como 0,005 ≠ 0,99 , então a conjectura não é verdadeira.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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