Enunciado

a. Use os resultados do Exemplo 7.5 para obter o limite de confiança inferior de 95 % do parâmetro λ de uma distribuição exponencial, e calcule o limite com base nos dados fornecidos no exemplo.

b. Se a vida útil X tem uma distribuição exponencial, a probabilidade de a vida útil exceder t é P ( X > t ) = e - λ t . Use o resultado da parte (a) para obter o limite de confiança inferior de 95 % para a probabilidade de o tempo de quebra exceder 100   m i n .

Passo 1

Use os resultados do Exemplo 7.5 para obter o limite de confiança inferior de 95 % do parâmetro λ de uma distribuição exponencial, e calcule o limite com base nos dados fornecidos no exemplo.

a. Uma vez que 2 λ Σ X i tem uma distribuição qui-quadrado com 2n d.f. e a área sob esta curva qui-quadrada à direita de χ 95,2 n 2 é.95, P χ 95,2 n 2 < 2 λ Σ X i = . 95 . Isso implica que χ . 95,2 n 2 2 Σ X i é um limite de confiança inferior para λ com coeficiente de confiança de 95%.

Tabela A. 7 dá o valor crítico qui-quadrado para 20 d.f. como 10,851, então o limite é 10,851/(2(550,87))=.0098.

Podemos ter 95% de confiança de que λ excede 0,0098

Passo 2

Se a vida útil X tem uma distribuição exponencial, a probabilidade de a vida útil exceder t é P ( X > t ) = e - λ t .

Use o resultado da parte (a) para obter o limite de confiança inferior de 95 % para a probabilidade de o tempo de quebra exceder 10 0   m i n .

b. Argumentando em a, P 2 λ Σ X i < χ . 05,2 n 2 = . 95 . As seguintes desigualdades são equivalentes à que está entre parênteses: λ < χ . 05,2 n 2 2 Σ X i ⇒ - λ t < - t χ . 05,2 n 2 2 Σ X i ⇒ e - λ t < e x p ⁡ - t χ . 05,2 n 2 2 Σ X i

Trocando Σ X i por Σ x i na expressão do lado direito da última desigualdade dá um limite de confiança 95% menor para e - λ t . Substituindo t = 100 , χ . 05,20 2 = 31.410 e Σ x i = 550.87 . 058 como o limite inferior para a probabilidade de que o tempo até a quebra exceda 100 minutos.

Resposta

a. Podemos ter 95% de confiança de que λ excede 0,0098

b. . 058 como o limite inferior para a probabilidade de que o tempo até a quebra exceda 100 minutos.

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