Enunciado

Uma variável aleatória de Cauchy padrão tem função densidade

f x = 1 π 1 + x 2           - ∞ < x < ∞

Mostre que, se X é uma variável aleatória padrão de Cauchy, então 1/X também é uma variável aleatória padrão de Cauchy.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para acharmos a função densidade de probabilidade, vamos:

f x = ∫ - ∞ ∞ 1 π 1 + x 2 d x

Para resolvermos, vamos usar fazer uma pequena substituição:

y = 1 x → x = 1 y

x = 1 y → d x = - 1 y 2 d y

Jogando na fórmula:

f x = ∫ - ∞ ∞ 1 π 1 + 1 y 2 - 1 y 2 d y

f x = ∫ - ∞ ∞ y 2 π 1 + y 2 - 1 y 2 d y

f x = - ∫ - ∞ ∞ 1 π 1 + y 2 d y

Que também é a função de densidade de probabilidade de uma distribuição de Cauchy padrão.

Assim, 1 / X também é uma distribuição padrão de Cauchy.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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