Enunciado

A variável aleatória X tem média μ = 10 e variância σ 2 = 4 . Usando o teorema de Chebyshev, determine

(a) P ( X - 10 ≥ 3 ) ;

(b) P ( X -   10 < 3 );

(c) P   ( 5 < X < 15 ) ;

(d) o valor da constante c de modo que

P X - 10 ≥ c ≤ 0,04

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. O teorema de Chebyshev é definido pela fórmula abaixo:

P μ - k σ < X < μ + k σ ≥ 1 - 1 k 2

Onde, o enunciado nos deu que a média é μ = 10 e a variância é σ 2 = 4 . Logo, o desvio-padrão é dado por σ = 4 = 2 .

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Nós podemos reescrever a probabilidade da seguinte forma:

P X - 10 ≥ 3 = 1 - P X - 10 < 3 = 1 - P ( - 3 < X - 10 < 3 )

= 1 - P 10 - 3 2 2 < X < 10 + 3 2 2

= 1 - P μ - 3 2 σ < X < μ + 3 2 σ

Podemos notar, pelo teorema definido no Passo 1, que o valor de k é 3 / 2 .

≥ 1 - 1 - 1 3 / 2 2 = 2 2 3 2 = 4 9

Portanto, estimamos a primeira probabilidade.

Passo 3

De forma similar a letra (a), nós temos que a segunda probabilidade é:

P X - 10 < 3 = 1 - P X - 10 ≥ 3 = 1 - 4 9 = 5 9

Por fim, estimamos a segunda probabilidade.

Passo 4

De novo, primeiro vamos reescrever a probabilidade:

P 5 ≤ X ≤ 15 = P 10 - 5 ≤ X ≤ 10 + 5

= P 10 - 5 2 2 ≤ X ≤ 10 + 5 2 2

Sendo assim, k = 5 / 2 .

≥ 1 - 1 5 / 2 2 = 1 - 2 2 5 2 = 21 25

Passo 5

Primeiro, vamos rearranjar a equação:

P X - 10 ≥ c ≤ 0,04

1 - P X - 10 < c ≤ 1 25

P - c < X - 10 < c ≥ 1 - 1 25

P 10 - c < X < 10 + c ≥ 1 - 1 5 2

Comparando a expressão com o teorema de Chebyshev, nós temos:

k = 5               →                 c = k σ = 5 2 = 10

Resposta

(a) P X - 10 ≥ 3 = 4 / 9

(b) P X - 10 < 3 = 5 / 9

(c) P 5 ≤ X ≤ 15 = 21 / 25

(d) c = 10

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