Enunciado

A velocidade de uma molécula em um gás uniforme

em equilíbrio é a variável aleatória V, cuja distribuição

de probabilidade é dada por

f ( \ {kv 2e-h"\ v >0,

f{v ) = \ 0; contrario,

onde k é uma constante apropriada e b depende da temperatura absoluta e da massa da molécula. Determine

a distribuição de probabilidade da energia cinética da

molécula W, onde W= mV2!2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que V , é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade é dada por,

f ( v ) = k v 2 e - b v 2 ,   v > 0 0 ,   restante  

Passo 2

Sabemos que,

  ∫ - ∞ ∞     f ( v ) d v = 1 k ∫ 0 ∞     v 2 e - b v 2 d v = 1

Deixar x = b v 2

⇒ d v = d x 2 ( b x ) 1 / 2

k ∫ 0 ∞   x b e - x d x 2 ( b x ) 1 / 2 = 1

k 2 b 3 / 2 ∫ 0 ∞   x 3 2 - 1 e - x d x = 1

k 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 ) = 1

k = 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 )

Portanto, a distribuição de probabilidade de v é

f ( v ) = 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 ) v 2 e - b v 2 ,   v > 0 0 ,     restante  

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distribuição de probabilidade da energia cinética da molécula W , onde

W = m V 2 / 2

Seja W = m V 2 / 2 uma variável aleatóriaA solução inversa de w = m v 2 / 2 rendimentos v = 2 w m 1 / 2 , a partir da qual obtemos

J   = w ' ( w )   = d v d w   = 1 m 2 w m

Portanto, encontramos a função de densidade de W ser

g ( w )   = 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 ) m 2 w m e - b 2 w m 1 m 2 w   = 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 ) 2 w m e - w ⋅ m 2 b 1 m   = e - w / m 2 b w ( 3 / 2 ) - 1 m 2 b 3 / 2 Γ ( 3 / 2 )

Portanto, W g a m m a ⁡ ( α = 3 / 2 , β = m / 2 b )

A distribuição de probabilidade da energia cinética da molécula W segue a distribuição gama com parâmetros α = 3 / 2 , β = m / 2 b

Resposta

Resposta nos passos.

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Sendo X tilde N (90,100) , determine:b.P (X = 80) .
Sendo X tilde N (- 5,10) , determine:d.P (- 7 = X = - 6) .
Sendo X tilde N (- 5 , 10) , determine:a.P (- 5 = X = - 2) .
Sendo X tilde N (- 5,10) , determine:b.P (X = 0) .
Sendo X tilde N (- 5,10) , determine:e.P ( |X + 5|2 ) .