Funções Matemáticas

Teoria Completa

Fala aí, e bem vindo ao RespondeAí, está com dúvidas em Cálculo na faculdade? Aqui nós temos todo o conteúdo que você precisa para mandar bem nas suas provas. Com um conteúdo pensado especialmente para você feito pela nossa Equipe de Experts.

Vamos falar nessa página sobre funções que é um conceito que tem que ser muito bem compreendido porque estará presente em todos os assuntos da matéria de Cálculo. As funções sempre vão aparecer na sua prova, e o que vai mudar de semestre em semestre é o que você vai aplicar nelas, ou o método que você vai usar para resolvê-la, ou o gráfico que você vai ter que desenhar dela, e por ai vai...

Funções

Para falar de funções, vamos começar com uma pequena situação de exemplo: Imagine que você vai na sua lanchonete preferida e vai comer mini hambúrgueres.

Se cada mini hambúrguer custar $R\$ 5,00$, uma pergunta que você pode se fazer é: quanto você vai pagar em função da quantidade de hambúrgueres que você comer?

Para cada quantidade de hambúrgueres que você come, existe um preço correspondente. Se chamarmos a quantidade de hambúrgueres de $q$, então, nós chamamos de $P(q)$ o preço a pagar em função da quantidade de hambúrgueres.

Se comêssemos um hambúrguer, pagaríamos 5 reais:

$$P(1)=5$$

Se comêssemos dois hambúrgueres, pagaríamos 10 reais:

$$P(2)=10$$

Repare que se comêssemos um número $q$ de mini hambúrgueres pagaríamos:

$$P(q)=5q$$

Esta relação geral entre a quantidade e o preço , nesse caso, é o que chamamos de função. O preço depende de quantos hambúrgueres serão comprados, por isso falamos que o preço é uma variável dependente.

Os professores gostam de definir funções utilizando conjuntos, conforme esse esquema:

Onde um valor de $x$ te leva a algum valor de $y$, e dizemos que para ser considerada uma função para cada valor de $x$ existe somente um único valor de $y$ associado. Vamos ver isso em um exemplo, onde nossa função vai representar a relação entre um conjunto de pessoas e seu time favorito:

Então um mesmo time pode ter mais de um torcedor favorito, e para função ser bem definida todos devem ter um time favorito, e todos devem ter apenas $1$time favorito. Ou seja, todo $x$ tem que ter um $y$ associado a ele, e um $y$ pode estar associado a um ou mais $x$.

Nós representamos funções da seguinte maneira:

$$f(x)=y$$

E conseguimos representar os pontos dessa função em um gráfico, por exemplo:

$$f(x)=x+1$$

Ou então:

$$f(x)=x^2+5$$

Ainda temos muito o que falar sobre funções, e tem tudo no nosso site, mas por enquanto vamos resolver um exercício de função enquanto entendemos o que é Domínio e o que é a Imagem de uma função, com nossa resolução Passo a Passo aqui em baixo:

Exercício

Observe o gráfico abaixo e determino os conjuntos domínio e imagem.

Passo 1

Vamos lá! Vamos considerar que o gráfico está gradeado de 1 em 1 já que está muito difícil de enxergar os valores. Então no primeiro Passo vamos focar em determinar o domínio dessa função, que serão todos os possíveis valores para $x$.

Olhando o gráfico podemos perceber que a função está definida para os valores de $x$ que vão de $-2$ até $5$. Basta contar os quadrados a esquerda do eixo $y$ e a direito do eixo $y$.

Logo:

$$D=\{x \in \R | -2\leq x \leq 5\}$$

Passo 2

Ok, agora nós vamos procurar a imagem dessa função, a imagem são todos os valores as quais o $x$ nos leva, por exemplo $f(-2)=-4$ e que $f(5)=2$, esses são os pontos $(-2,-4)$ e $(5,2)$ que conseguimos ver no gráfico. Para definir a imagem corretamente, vamos dividir nossa função em três intervalos:

Para $-2\leq x \lt 0$, a função varia entre os valores de eixo vertical entre $-4\leq y \lt 0$.

Para $0\leq x \lt 2$, a função varia entre os valores de eixo vertical entre $3\leq y \lt 7$.

Para $2\leq x \lt 5$, a função varia entre os valores de eixo vertical entre $y = 2$.

Passo 3

Escrevendo tudo isso de uma forma mais elegante:

$$Im=\{y \in \R |-4\leq y \lt 0 \text{ ou }3\leq y \lt 7 \text{ ou } y = 2\}$$

Resposta

$$D=\{x \in \R | -2\leq x \leq 5\}$$
$$Im=\{y \in \R |-4\leq y \lt 0 \text{ ou }3\leq y \lt 7 \text{ ou } y = 2\}$$

Shoow, conseguiu pegar o que é Domínio e o que é imagem? Relaxa que ainda temos uma série de exercícios resolvidos para você no nosso site, aproveita e confere mais um de nossos exercícios um pouco mais avançado, mas solucionado em vídeo do tópico de funções:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Descreva o que é uma função e qual é a sua utilidade na linguagem C.

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Passo 1

Uma função é um escopo, um lugar único (módulo) que você pode escrever instruções e reutilizá-las em outros trechos de código através de sua invocação no programa principal.

Passo 2

A grande utilidade de uma função é a economia de tempo de desenvolvimento, onde um algoritmo pode ser executado diversas vezes em um programa com diferentes valores sem a necessidade de reescrever tais instruções.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Explique o motivo pelo qual variáveis passadas como parâmetro para uma função não têm os seus valores alterados mesmo que tais instruções de alteração estejam presentes na função.

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Passo 1

Isso acontece, pois quando uma variável é passada como parâmetro para uma função, essa função cria uma cópia de seu valor em outro espaço de memória. A verdade é que dentro de uma função estamos trabalhando com as chamadas variáveis de cópia.

Resposta

Ou seja, apenas os valores são passados como parâmetro e qualquer alteração feita dentro da função modifica apenas a variável de cópia e não a original.

Mas lembre-se! Essa regra não é verdadeira quando nos referimos aos ponteiros.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria.

Crie uma função que recebe dois números inteiros como parâmetros e retorne a multiplicação deles.

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Passo 1

A primeira coisa que nós vamos é definir o escopo da função.

Como os números recebidos serão inteiros e a multiplicação de dois inteiros origina um valor também inteiro, o tipo de retorno dessa função deve ser int. Além disso, devemos dar um nome a essa função, nesse caso o nome que daremos a ela é m u l t i p l i c a c a o . Por fim, entre parênteses e separados por vírgula, devemos colocar os parâmetros esperados, que como mencionado anteriormente são dois números inteiros, por isso utilizamos n 1 e n 2 ambos do tipo int.

Passo 2

Com o escopo da função definido, podemos declarar a variável que receberá a multiplicação.

Passo 3

Por fim, basta atribuirmos o resultado da multiplicação dos valores recebido em n 1 e n 2 a m u l t i e retornarmos o resultado.

O resultado retornado será enviado ao escopo que invocou a função, que por sua vez, poderá realizar novos processamentos com ele.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Pontifícia Universidade Católica de Goiás – PUC de Goiás, Técnicas de Programação – Funções, Max Gontijo de Oliveira, pp. 02 – Exercício 14.

Fazer uma função que receba um caractere como parâmetro e retorne 1 caso o caractere seja uma consoante, ou 0 caso contrário.

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Passo 1

A primeira coisa que nós temos que fazer é criar o escopo da nossa função.

Para isso, devemos primeiro falar para o programa o tipo de retorno dessa função, que por assumir apenas 0 ou 1 é int. Além disso, devemos na declaração decidir o nome dessa função, nesse caso v e r i f i c a C o n s o a n t e . Por fim e entre parênteses devemos falar os parâmetros que essa função deve receber, nesse caso um único caractere c .

Passo 2

Com o escopo da função definido, podemos elaborar o código que ela executará quando chamada.

Onde basicamente declaramos uma variável c o n s o a n t e do tipo int e a inicializamos com o valor 1 (supondo que o caractere passado por parâmetro é uma consoante). Após isso, utilizamos a estrutura switch para pegar o caractere armazenado por c e compará-lo com todas as vogais através de casos, caso um deles seja verdadeiro c o n s o a n t e receberá 0.

No término da função o valor de c o n s o a n t e será retornado da seguinte forma: se o caractere armazenado por c for uma consoante o valor de retorno (armazenado por c o n s o a n t e ) será 1, caso contrário o valor será 0.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Pontifícia Universidade Católica Do Rio Grande do Sul – PUC do Rio Grande do Sul, Funções e Procedimentos, Sílvia Moraes e Egídio Terra, Adaptação do exercício 10.

Faça uma função que recebe um valor inteiro e verifica se o valor é par ou ímpar.

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Passo 1

Começaremos o nosso programa com o escopo da função que iremos declarar.

A lógica dessa definição está baseada em usar o retorno do valor 1 para indicar que o número é par e o valor 0 ímpar, dessa forma podemos dizer ao programa que o tipo do retorno da função é int. Como se trata de uma função que faz a verificação da paridade de um número, nada melhor do que chamá-la de v e r i f i c a P a r . Por fim, basta dizermos ao programa quais serão os parâmetros dessa função, nesse caso um número n inteiro.

Passo 2

Com o escopo da função definido, basta escrevermos o código que ela executará.

Aqui nós não temos segredo, simplesmente utilizamos o comando condicional for para verificar se o resto da divisão de n por 2 é igual a 0. Caso a condição seja verdadeira, temos que retornar o número 1 para indicar que n se trata de um número par, caso contrário o retorno deve ser 0.

Resposta

Exercício Resolvido #6

Pontifícia Universidade Católica Do Rio Grande do Sul – PUC do Rio Grande do Sul, Funções e Procedimentos, Sílvia Moraes e Egídio Terra, Adaptação do exercício 06.

Faça uma função que recebe a idade de uma pessoa em dias, meses e anos e retorna essa idade expressa apenas em dias.

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Passo 1

Vamos iniciar a declaração dessa função com a definição do seu escopo.

Como o resultado desse procedimento consiste em retornar a vida total de algo em dias, o tipo do seu retorno deve ser int. Além disso, o nome que podemos dar a essa função é v i d a E m D i a s . Por fim, basta fornecermos as informações dos parâmetros ao programa, nesse caso serão 3 números inteiros: d para dias, m para meses e a para anos.

Passo 2

Com o escopo da função definido, nós podemos desenvolver o código que ela executará.

A lógica é bastante simples, basicamente declaramos uma variável v i d a que é inicializada com a soma entre os dias recebidos como parâmetros, os meses multiplicados por 30 e os anos multiplicados por 365.

Ao final, basta retornamos o dado armazenado em v i d a , já que o mesmo se trata da soma de todas as representações (meses e anos) já convertidas em dias.

Resposta

Exercício Resolvido #7

Pontifícia Universidade Católica Do Rio Grande do Sul – PUC do Rio Grande do Sul, Funções e Procedimentos, Sílvia Moraes e Egídio Terra, Exercício 18.

Faça uma função que receba um valor inteiro e positivo e calcula o seu fatorial.

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Passo 1

Como de costume, para criarmos essa função devemos começar pelo seu escopo.

Por ser uma função que calcula o fatorial de um número, o tipo de seu retorno é int. Além disso, nada melhor do que chamarmos ela de f a t o r i a l , pois é o cálculo que ela realiza. Por fim, basta dizermos para o programa os parâmetros que ela espera para funcionar, nesse caso é um único número n inteiro.

Passo 2

Com o escopo definido, podemos codificar normalmente os comandos utilizados para o cálculo do fatorial de um número.

A lógica desse código consiste em utilizar uma estrutura de repetição, nesse caso for, para a realização de multiplicações sucessivas com f a t até que o mesmo seja o fatorial de n e seja retornado ao término da execução do laço.

Resposta

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria.

Faça uma função que receba um caractere minúsculo como parâmetro e retorne esse mesmo caractere em maiúsculo (não é necessário verificar a entrada).

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Passo 1

Vamos começar a declaração da nossa função pelo seu escopo.

Como essa função irá retornar um caractere, o seu tipo ideal de retorno é char. Além disso, por se tratar de uma função de conversão, podemos chamá-la de c o n v e r t e M a i u s c u l o . Por fim, basta informarmos ao programa os parâmetros que essa função espera, nesse caso um caractere c .

Passo 2

Como o enunciado nos diz que não é necessário verificar a entrada, podemos ter certeza de que só serão passados como parâmetro dessa função caracteres minúsculos.

Sendo assim, tudo o que devemos fazer é utilizarmos os nossos conhecimentos da tabela ASCII para realizar essa conversão. Isso pois, todos os caracteres na linguagem C podem ser tratados como números inteiros e como a letras maiúsculas são localizadas antes das minúsculas, basta realizarmos a subtração dessa diferença de localização (que é 32).

Resposta

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