Transformada de Fourier

O exercício nos dá algumas propriedades de uma onda senoidal, no domínio do tempo, e nos pede para aplicar a transformada de Fourier nela. Para isto, usaremos a função do MATLAB.

Para verificar se “o método FFT dá a mesma frequência ”, geraremos um gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência, após a aplicação da função , e veremos as coordenadas do primeiro pico de magnitude. O pico de magnitude deve ocorrer na frequência da onda senoidal.

Primeiramente, vamos criar a onda senoidal no MATLAB. Em um novo script, vamos entrar as propriedades de amplitude, frequência, fase inicial e número de pontos:

A amplitude da onda senoidal é armazenada na variável , a frequência em , a fase inicial em e o número de pontos em .

Vamos criar agora o vetor representando o intervalo de a de duração da onda. Para criar o vetor , usaremos o comando:

Neste comando, cria-se primeiro um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos de dados. Em seguida, esse vetor é multiplicado por , que é o período, em segundos, da onda senoidal.

O enunciado não nos dá o período, mas sabemos que a onda tem um intervalo de duração de a . Logo, o vetor deve começar em e terminar em . O último elemento de deve ser igual a:

Sabemos que , logo o período é igual a:

Vamos entrar essa informação no MATLAB e construir o vetor :

O vetor representa o domínio do tempo da onda senoidal.

Temos todos os dados necessários para construir a onda senoidal no domínio do tempo. No MATLAB, digite este comando para gerar a onda:

A onda senoidal é representada pelo vetor . Vamos ver a carinha dela? Digite as linhas de código abaixo no seu script para plotar o gráfico da onda senoidal no domínio do tempo:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma figura com o comando , para termos o gráfico no domínio do tempo em uma janela diferente do gráfico no domínio da frequência (que geraremos mais pra frente, no mesmo script).

Em seguida, com o comando o gráfico da onda senoidal, no domínio do tempo, é efetivamente gerado.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio do tempo por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico os valores da onda senoidal, indicados por .

Ao rodarmos o programa, vemos como é a onda senoidal:

Vamos agora calcular a onda senoidal no domínio da frequência. Para isto, usaremos a função do MATLAB, que tem a seguinte estrutura:

A entrada da função é um vetor contendo dados no domínio do tempo, representados por numeros reais. Já a saída é um vetor com números complexos: é a conversão de no domínio do tempo para o domínio da frequência. Os vetores e têm a mesma quantidade de elementos.

Digite no seu script o comando:

Com esta linha de código, o MATLAB passará a onda senoidal, que está no domínio do tempo e é representada pelo vetor , para o domínio da frequência. A onda senoidal no domínio da frequência é representada pelo vetor .

Para verificarmos se o método FFT dá a mesma frequência de , precisamos gerar o gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência.

Para construirmos o gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência, vamos calcular a magnitude usando a função do MATLAB. Digite no MATLAB a linha de código:

Com esta linha, calculamos a magnitude de cada elemento do vetor usando a função do MATLAB. Quando a entrada da função é um número complexo, ela calcula sua magnitude.

Com esse comando, já temos o eixo vertical do gráfico, agora precisamos criar o eixo horizontal, representando o domínio da frequência. Para isto, digite os comandos:

Na primeira linha, calculamos a frequência de amostragem , que é o inverso do período .

Na segunda linha, calculamos o , que é o passo do domínio da frequência: ele começa em e as frequências seguintes são obtidas pela soma de à frequência anterior. O é calculado dividindo a frequência de amostragem pelo número de pontos e é armazenado na variável .

Na terceira linha, geramos o domínio da frequência, representado pelo vetor . A lógica da sua criação é igualzinha à lógica que usamos para criar o vetor , do domínio do tempo.

Primeiramente, cria-se um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos de dados. Em seguida, esse vetor é multiplicado por . Desta forma, é criado o domínio da frequência, que vai de a

Após criar o domínio da frequência, vamos usar novamente a função para gerar o gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma segunda figura com o comando , para termos o gráfico no domínio da frequência em uma janela diferente do gráfico no domínio do tempo.

Em seguida, o gráfico da magnitude de no domínio da frequência é criado com o comando Repare que, para plotar, usamos somente a primeira metade dos vetores com elementos e . Isso é indicado pela adição de à direita do nome do vetor, que diz ao MATLAB que queremos pegar do primeiro elemento ao elemento do vetor.

Usamos somente a primeira metade dos vetores e porque, no domínio da frequência, a partir de , as magnitudes começam a se repetir e não precisamos pôr elas no gráfico para encontrar o que o exercício pede.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio da frequência por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico a magnitude de , indicado por .

Vamos rodar o programa para ver o gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência:

Já marquei no gráfico as coordenadas do pico de magnitude da onda senoidal no domínio da frequência. Ele ocorre em uma frequência de , muito próxima da frequência da onda senoidal, que é de . Logo, podemos dizer que o método FFT dá a mesma frequência .

Dica: caso aumentássemos o número de pontos , teríamos uma maior precisão e a frequência onde ocorre o pico de magnitude seria mais próxima de .

O enunciado nos dá uma função representando um sinal no domínio do tempo e nos pede para:

1. Plotar o sinal no domínio do tempo;
2. Aplicar a transformada de Fourier no sinal para obtê-lo no domínio da frequência. Para isto, usaremos a função do MATLAB;
3. Plotar o sinal do domínio da frequência, tendo as frequências em no eixo X do gráfico;
4. Verificar se os picos do sinal ocorrem onde era esperado no domínio da frequência.

A partir do enunciado e da equação do sinal, que é uma onda senoidal, podemos obter algumas informações para entrarmos no MATLAB e resolvermos o exercício:

• O número de pontos que o sinal deve ter é ;
• A taxa de amostragem é de . Isto quer dizer que a frequência de amostragem é ;
• A partir da frequência de amostragem, obtemos o período em segundos do sinal: ;
• Uma onda senoidal normalmente tem o formato:

Onde é a amplitude da onda e , a frequência em .

• Logo, podemos dizer que a amplitude do sinal é de ;
• E que a frequência do sinal é de .

Para verificar se os picos do sinal ocorrem onde era esperado no domínio da frequência, devemos olhar o gráfico do sinal no domínio da frequência e ver se o pico ocorre na mesma frequência do sinal: .

Primeiramente, vamos entrar no MATLAB as informações fornecidas pelo enunciado, que foram listadas logo acima, no passo 1. Em um script novo, digite:

O número de pontos é armazenado na variável ; a frequência de amostragem na variável ; o período é calculado e armazenado na variável ; a amplitude da onda senoidal é armazenada na variável ; e, finalmente, a frequência do sinal é armazenada em .

Para fazermos a primeira coisa que o exercício pede – plotar o sinal no domínio do tempo – devemos criar um vetor representando o domínio do tempo a partir o comando:

Neste comando, cria-se primeiro um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos pedidos pelo enunciado. Em seguida, esse vetor é multiplicado por , que é o período, em segundos, da onda senoidal.

Vamos acrescentar esse comando para calcular o vetor no MATLAB e aproveitar e já gerar o sinal no domínio do tempo:

Tendo os vetores e , podemos plotar o sinal da onda senoidal no domínio do tempo, por meio dos comandos:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma figura com o comando , para termos o gráfico no domínio do tempo em uma janela diferente do gráfico no domínio da frequência (que também foi pedido no exercício e que geraremos mais pra frente, no mesmo script).

Em seguida, com o comando o gráfico do sinal no domínio do tempo é gerado.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio do tempo por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico os valores da onda senoidal, indicado por .

Vamos ver a carinha do sinal no domínio do tempo? Rodando o programa que escrevemos até agora, temos este gráfico:

Pronto! O primeiro item pedido pelo exercício está feito!

A segunda coisa que o exercício pede é usarmos a transformada de Fourier no sinal para obtermos a onda senoidal no domínio da frequência. Para isto, usaremos a função do MATLAB, incluindo a seguinte linha de código em nosso script:

Para calcular a transformada de Fourier, a função tem como entrada o vetor , que contém números reais representando o sinal no domínio do tempo. Já a saída é um vetor com números complexos: é a conversão de no domínio do tempo para o domínio da frequência. Os vetores e têm a mesma quantidade de elementos.

O segundo item pedido pelo exercício está feito (esse foi bem diretão XD)

Tendo executado o segundo item pedido pelo exercício, partimos para a terceira coisa que ele nos pede para fazer: plotar o sinal no domínio da frequência. Quando plotamos um sinal no domínio da frequência, normalmente temos no eixo Y do gráfico a magnitude do sinal obtido pela função . Para calcular a magnitude, usamos a função do MATLAB. Digite no MATLAB a linha de código:

Com esta linha, calculamos a magnitude de cada elemento do vetor usando a função do MATLAB. Quando a entrada da função é um número complexo, ela calcula sua magnitude.

Agora precisamos criar o eixo horizontal, representando o domínio da frequência. Para isto, digite os comandos:

Na primeira linha, calculamos o , que é o passo do domínio da frequência: ele começa em e as frequências seguintes são obtidas pela soma de à frequência anterior. O é calculado dividindo a frequência de amostragem pelo número de pontos e é armazenado na variável .

Na segunda linha, geramos o domínio da frequência, representado pelo vetor . A lógica da sua criação é igualzinha à lógica que usamos para criar o vetor , do domínio do tempo.

Primeiramente, cria-se um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos exigidos pelo enunciado. Em seguida, esse vetor é multiplicado por . Desta forma, é criado o domínio da frequência, que vai de a

Após criar o domínio da frequência, vamos usar novamente a função para gerar o gráfico da magnitude da onda senoidal no domínio da frequência:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma segunda figura com o comando , para termos o gráfico no domínio da frequência em uma janela diferente do gráfico no domínio do tempo.

Em seguida, o gráfico da magnitude de no domínio da frequência é criado com o comando Repare que, para plotar, usamos somente a primeira metade dos vetores com elementos e . Isso é indicado pela adição de à direita do nome do vetor, que diz ao MATLAB que queremos pegar do primeiro elemento ao elemento do vetor.

Usamos somente a primeira metade dos vetores e porque, no domínio da frequência, a partir de , as magnitudes começam a se repetir e não precisamos pôr elas no gráfico para encontrar o que o exercício pede.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio da frequência por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico a magnitude de , indicado por .

Vamos ver a cara do sinal do domínio da frequência? Executando o programa, temos:

Voilà! Terceiro item pedido pelo exercício feito ;D

A última coisa que o exercício pede para fazermos é verificar se os picos do sinal ocorrem onde era esperado no domínio da frequência. Para vermos isso, devemos olhar o gráfico do sinal no domínio da frequência e ver se o pico ocorre na mesma frequência do sinal: .

Vamos clicar no pico do gráfico gerado para ver suas coordenadas:

O pico ocorre em , que está bem próximo de . Logo, o pico do sinal ocorre onde era esperado.

Se quiser, faça alguns testes aumentando o , você verá que a frequência onde ocorre o pico ficará mais próxima de , até se tornar igual a .

O enunciado nos dá uma função representando um sinal no domínio do tempo e nos pede para:

1. Plotar o sinal no domínio do tempo;
2. Aplicar a transformada de Fourier no sinal para obtê-lo no domínio da frequência. Para isto, usaremos a função do MATLAB;
3. Plotar o sinal do domínio da frequência, tendo as frequências em no eixo X do gráfico;
4. Verificar se os picos do sinal ocorrem onde era esperado no domínio da frequência.

A partir do enunciado e da equação do sinal, que é composta por ondas cossenodal e seinodal, podemos obter algumas informações para entrarmos no MATLAB e resolvermos o exercício:

• O número de pontos que o sinal deve ter é ;
• A taxa de amostragem é de . Isto quer dizer que a frequência de amostragem é ;
• A partir da frequência de amostragem, obtemos o período em segundos do sinal: ;
• Chamando de:

e

Temos:

• Uma onda cossenoidal normalmente tem o formato:

Onde é a amplitude da onda e , a frequência em .

• Logo, podemos dizer que a amplitude de é de ;
• Já a frequência de é: