Enunciado

14b – Localize os nós da função de onda do oscilador harmônico com ν=5.

Passo 1

A função de onda de um oscilador harmônico tem a seguinte expressão:

ψ v x = N v H v y exp ⁡ - 0,5 y 2           E q 1

Onde,

-ψ é a função de onda;

-Nv é uma constante de normalização;

-Hv é um fator que depende do deslocamento x e é dado em forma de polinômios de Hermite, para cada nível do estado de energia.

-y é definido em função do deslocamento x, pela seguinte expressão

y = x α

Onde,

α = ħ 2 m k 0,25

Onde,

-m é a massa da partícula;

-x é o deslocamento da partícula;

-ħ é a constante de Planck, h, divido por 2π:

ħ = h 2 π

-k é uma constante de proporcionalidade da energia potencial do sistema.

Passo 2

Vamos rever alguns conceitos.

Os nós de uma função de onda, são aqueles pontos onde a função de onda atinge um valor nulo. Assim, para encontrarmos os nós da função de onda do oscilador harmônico dado pela Eq1, vamos igualar essa equação a zero e encontrar os valores de x que solucionam essa equação.

Analisando a função exponencial da Eq1, você vai ver que para que a função de onda seja zero, ou a função exponencial deve ser a zero ou a função de Hermite (Hv) deve ser. Para que a função exponencial seja zero, o valor de x deve tender ao infinito e isso é improvável fisicamente. Portanto, para que a função de onda seja zero, o polinômio de Hermite deve ser zero.

Assim, os nós da função de onda devem ser para quando a função HV(y) for zero.

Passo 3

Para ν=5, da Tabela 9.1:

H 5 y = 32 y 5 - 160 y 3 + 120 y

H 5 y = 0

32 y 5 - 160 y 3 + 120 y = 0

Podemos escrever a eq. acima da seguinte forma:

8 y 4 y 4 - 20 y 2 + 15 = 0

Assim, uma solução para essa equação é em y=0, que resultará para x:

x = α y = 0

Passo 4

A outra solução você deve resolver a seguinte equação:

4 y 4 - 20 y 2 + 15 = 0

Você consegue resolve-la por um método iterativo ou você pode fazer o seguinte:

z = y 2

Assim,

4 y 4 - 20 y 2 + 15 = 4 z 2 - 20 z + 15 = 0

Agora você tem que resolver uma Eq. do segundo grau, que se resolve por Bhaskara

- b ± b 2 - 4 a c 2 a             ( E q .   d e   B h a s k a r a )

z = - ( - 20 ) ± 20 2 - 4 4 15 2 4

z = 20 + 20 2 - 4 4 15 2 4 = 4,08

Ou,

z = 20 - 20 2 - 4 4 15 2 4 = 0,92

Passo 5

Assim, para y e x:

z = y 2

y = z 0,5

y = z 0,5 = 4,08 0,5 = 2,02

x = α y = 2,02 α

Ou,

y = z 0,5 = 0,92 0,5 = 0,96

x = α y = 0,96 α

Assim, os nós são:

x = 0 ;   0,96 α   o u   x = 0 ;   2,02 α

Resposta

x = 0 ;   x = 0,96 α

Ou,  

x = 0 ;   x = 2,02 α

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