Enunciado

3b – Calcule os valores esperados de p e de p2 de uma partícula no estado n=2, num poço de potencial retangular.

Passo 1

O parâmetro p, que é o momento linear da partícula, é definido em relação ao comprimento de onda da partícula, conforme a relação de Broglie, que é escrito da seguinte forma:

p = h λ

Onde,

-p é momento linear da partícula;

-h é a constante de Planck, h=6,626x10-34 J.s;

-λ é comprimento de onda da partícula;

O comprimento de onda pode ser escrito em termos dos níveis de energia, o número quântico n, e do comprimento, L, do poço de potencial retangular, que é mais chamado de uma partícula dentro de uma caixa.

λ = 2 L n

Assim, para o momento linear:

p = n h 2 L                       E q 1

Passo 2

Vamos relembrar que o momento linear p de qualquer partícula em uma caixa para qualquer nível de energia n é nulo, devido ao fato de que a mínima energia permitida em um sistema é

E = p 2 2 m = n 2 h 2 8 m L 2               E q 2

Onde, m é a massa da partícula.

Para provarmos que este momento linear p é sempre zero, podemos calcular a partir do momento linear médio através da função distribuição de probabilidade, cuja expressão é

p = ∫ ψ ∙ p ψ d x

Onde,

-ψ é a função de onda de probabilidade de encontrar a partícula;

-x é a posição da partícula dentro da caixa que varia de 0 a L.

O produto pψ pode ser estimado pela relação da Eq. de Schrödinger que é:

p ψ = - i ħ d d x 2 L 1 2 s e n n π x L

Passo 3

Vamos derivar então em função de x e lembrando que a derivada de uma função seno resulta em uma função cosseno, assim

p ψ = - i ħ d d x 2 L 1 2 s e n n π x L = p ψ = - i ħ 2 L 1 2 n π L c o s n π x L

Substituindo essa relação na integral:

p = ∫ ψ ∙ p ψ d x = ∫ ψ ∙ - i ħ 2 L 1 2 n π L c o s n π x L d x

Sendo que ψ é definido como:

ψ = 2 L 1 2 s e n n π x L

Assim,

p = ∫ 2 L 1 2 s e n n π x L ∙ - i ħ 2 L 1 2 n π L c o s n π x L d x

p = - i ħ 2 n π L 2 ∫ s e n n π x L c o s n π x L d x

Passo 4

Resolvendo a integral:

Como se trata de uma caixa retangular (poço de potencial retangular), assim, você deve integrar no intervalo de 0 até L

p = - i ħ 2 n π L 2 ∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x

Então você vai ter que resolver a seguinte integral definida

∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x

Vamos então resolve-la:

Lembrando das técnicas de integração, você pode se lembrar da técnica de substituição simples em que você pode faz uma substituição na função para facilitar a integração, substituindo por uma função em que se conheça a sua integral.

Para essa integral nós podemos chamar:

u = s e n a x   e   d u = acos ⁡ a x d x

d x = 1 acos ⁡ a x   d u

Onde a é

a = n π L

Assim, substituindo as funções na integral por u e du

∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x = ∫ 0 L 1 a u d u = 1 a ∫ 0 L u d u

Essa uma integral fácil de se resolver cuja solução dela é

1 a ∫ 0 L u d u = 1 2 a u 2 L 0

Substituindo u pela função definida

∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x = L 2 n π s e n n π x L 2 L 0

Passo 5

Substituindo os valores definidos:

L 2 n π s e n 2 n π L L - L 2 n π s e n 2 n π 0 L = L 2 n π s e n 2 n π - 0

Assim,

p = - i ħ 2 n π L 2 n π L L 2 n π s e n 2 n π = - i ħ n π L 2 s e n 2 n π

Assim sendo você pode ver que o momento linear p é função de sen(nπ), e vamos lembrar de trigonometria de que para uma função seno, aplicada nos pontos nπ, com n assumindo valores inteiros, tal como n=1, 2, 3, ..., a função seno é sempre nula para esses valores.

s e n π = s e n 2 π = s e n 3 π = … = 0

Portanto para qualquer valor de n, que só assume valores inteiros, inclusive n=2, a função sen2(nπ) é nula:

s e n 2 n π = 0   ∀   n

Logo,

p = 0   ∀   n

Passo 6

Para o momento linear p2 podemos utilizar a relação da Eq1 que é quantidade mínima de energia permitida no sistema, assim para p2:

p 2 = 2 m H ^ = 2 m E n = h 2 n 2 4 L 2

Para n=2:

p 2 = 4 h 2 4 L 2 = h 2 L 2

Resposta

p = 0

p 2 = h 2 L 2

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