Enunciado

15 – Determine os valores de:

δ x = x 2 - x 2 0,5

δ p = p 2 - p 2 0,5

Para:

A) uma partícula numa caixa de comprimento L e;

B) para um oscilador harmônico.

Discuta essas grandezas em termos do princípio da incerteza.

Passo 1

A)

Vamos começar determinando os valores dos deslocamentos médios linear e quadrática.

O deslocamento médio linear para uma partícula em uma caixa de comprimento L, pode ser determinado por:

x = ∫ 0 L ψ * x ψ d x

Onde, a função de onda para uma partícula em uma caixa é dada por:

ψ = 2 L 0,5 s e n n π x L

Assim,

x = ∫ 0 L x 2 L s e n 2 n π x L d x

x = 2 L ∫ 0 L x s e n 2 n π x L d x

Passo 2

Resolvendo a integral

∫ 0 L x s e n 2 n π x L d x = x 2 4 - x s e n 2 n π x L 4 n π x L - cos ⁡ 2 n π x L 8 n π x L L 0

∫ 0 L x s e n 2 n π x L d x = L 2 4

A integral foi resolvida utilizando um software matemático (Wolfram Alpha).

Assim,

x = 2 L L 2 4

x = L 2

Passo 3

Analogamente, para o deslocamento médio quadrático:

x 2 = ∫ 0 L ψ * x 2 ψ d x

x 2 = 2 L ∫ 0 L x 2 s e n 2 n π x L d x

Resolvendo a integral

∫ 0 L x 2 s e n 2 n π x L d x = x 3 6 - x 2 4 n π x L - 1 8 n π x L 3 s e n 2 n π x L - cos ⁡ 2 n π x L 4 n π x L 2 L 0

∫ 0 L x 2 s e n 2 n π x L d x = L 2 3 1 - 1 6 n 2 π 2

A integral foi resolvida utilizando um software matemático (Wolfram Alpha).

Assim,

x 2 = 2 L L 3 6 - L 3 4 n 2 π 2

x 2 = L 2 3 1 - 1 6 n 2 π 2

Passo 4

Sendo

δ x = x 2 - x 2 0,5

Assim, substituindo

δ x = L 2 3 1 - 1 6 n 2 π 2 - L 2 2 0,5

δ x = L 2 3 1 - 1 6 n 2 π 2 - L 2 4 0,5

δ x = L 1 12 - 1 2 n 2 π 2 0,5

Passo 5

Para o momento linear:

Analogamente,

p = ∫ ψ ∙ p ψ d x

Sendo o momento linear p expresso como

p = ħ i d d x = - i ħ d d x

Assim

p ψ = - i ħ d ψ d x = - i ħ d d x 2 L 1 2 s e n n π x L

Derivando

p ψ = - i ħ 2 L 1 2 n π L c o s n π x L

Substituindo essa relação na integral:

p = ∫ 2 L 1 2 s e n n π x L ∙ - i ħ 2 L 1 2 n π L c o s n π x L d x

p = - i ħ 2 n π L 2 ∫ s e n n π x L c o s n π x L d x

Passo 6

Aplicando os intervalos:

p = - i ħ 2 n π L 2 ∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x

Então você vai ter que resolver a seguinte integral definida

∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x

Utilizando o Wolfram Alpha, que você pode utilizar outro programa, tal como o Matlab, ou Python.

∫ 0 L s e n n π x L c o s n π x L d x = 0

O resultado acima também pode ser obtido usando o conceito de simetria, onde a função composta pelo produto de seno com cosseno resultará em uma função ímpar que por simetria possui valor da integral nula.

Consequentemente,

p = 0

Passo 7

Para a média quadrática, podemos relembrar da expressão da energia E que se relaciona com o momento linear da seguinte forma:

E = p 2 2 m

Onde, a energia E para o nível n de energia é dado por:

E n = h 2 n 2 8 m L 2

Assim,

E n = h 2 n 2 8 m L 2 = p 2 2 m

Isolando p2

p 2 = h 2 n 2 8 m L 2 2 m

Assim,

p 2 = n 2 h 2 4 L 2

Passo 8

Consequentemente:

δ p = p 2 - p 2 0,5

δ p = n 2 h 2 4 L 2 - 0 0,5 = n 2 h 2 4 L 2 0,5

δ p = n h 2 L

Passo 9

B)

Analogamente, para um oscilador harmônico, que possui intervalos variando de menos infinito até mais infinito, assim:

x = ∫ - ∞ ∞ ψ * x ψ d x

Sendo

x = α y

d x = α d y

Assim, substituindo

x = α 2 ∫ - ∞ ∞ ψ 2 y d y

∫ - ∞ ∞ ψ 2 y d y = 0

A integral acima é nula, pois a função y é uma função ímpar, e para funções ímpares com intervalos de integração indo de –B até B, a integral é nula, que você pode se lembrar de cálculo. Assim,

x = 0

Passo 10

O deslocamento médio quadrático de um oscilador harmônico, pode ser estimado por meio da expressão da energia potencial média, cuja expressão é

V = 1 2 k x 2

Assim,

x 2 = 2 k V

Pela eq. 9.35, temos a seguinte relação entre a energia potencial e a energia cinética, dada pelo teorema do virial:

2 E K = b V

Com,

V = a x b = 1 2 k x 2

Assim,

b = 2

Logo,

E K = V

Pelo Problema 9.13, chegou-se que no resultado para a energia cinética média de um oscilador harmônico é:

E K = v + 0,5 ħ ω 2

Portanto,

x 2 = 2 k v + 0,5 ħ ω 2

x 2 = v + 0,5 ħ ω k

Passo 11

Consequentemente:

δ x = x 2 - x 2 0,5

δ x = v + 0,5 ħ ω k - 0 0,5

δ x = v + 0,5 ħ ω k 0,5

Passo 12

Para o momento linear:

Analogamente, também por simetria:

p = 0

Para a média quadrática:

E = p 2 2 m

p 2 = 2 m E

Onde,

E = E K = v + 0,5 ħ ω 2

Assim,

p 2 = 2 m v + 0,5 ħ ω 2

p 2 = v + 0,5 ħ m ω

Passo 13

Consequentemente:

δ p = p 2 - p 2 0,5

δ p = v + 0,5 ħ m ω - 0 0,5

δ p = v + 0,5 ħ m ω 0,5

Resposta

A)

δ x = L 1 12 - 1 2 n 2 π 2 0,5

δ p = n h 2 L

B)

δ x = v + 0,5 ħ ω k 0,5

δ p = v + 0,5 ħ m ω 0,5

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