Enunciado

21 – A interação de uma molécula pequena com um bipolímero ou uma organela pode impedir a sua rotação livre em todas as direções, fazendo com que sua interação dipolar média não se anule. Considere que uma molécula está ligada de tal forma que, embora o vetor que separa dois prótons possa rodar livremente em torno do eixo dos z, a colatitude só pode variar entre 0 e θ’. Obtenha o valor médio do campo dipolar sobre essa faixa restrita de orientações e confirme que essa média se anula quando θ’ = π (correspondendo à rotação sobre toda a esfera). Qual é o valor médio do campo dipolar local para a molécula de H2O no Problema 15.15, se ela está ligada a um biopolímero que só permite sua rotação até θ’ = 30°?

Passo 1

Vamos relembrar que para um campo magnético local, ou o campo magnético do núcleo da molécula, temos uma equação que é a Eq. 15.28 do Atkins, sendo ela a seguinte:

B n u c = - γ ħ μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ m I             E q 1

Onde,

-ℬnuc é o campo magnético do núcleo da partícula;

-γ é uma constante conhecida como a razão giromagnética do elétron;

-ħ é a constante de Planck, h, dividido por 2π:

ħ = h 2 π

-μ0 é permeabilidade no vácuo;

-R é a distância entre os prótons;

-θ é o ângulo de orientação da molécula;

-mI é o nº quântico do spin do elétron;

Passo 2

Vamos relembrar que o produto entre a constante giromagnética, γ, e a constante de Planck, ħ, pode ser escrita como

γ ħ = g I μ N

Onde,

-gI é o fator de nuclear, cujo seu valor é 5,5857;

-μN é o momento magnético nuclear, μN=5,0508x10-27 J T-1;

Assim, a Eq1 pode ser escrita da seguinte forma:

B n u c = - g I μ N μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ m I

Passo 3

Para determinarmos o campo magnético médio, lembrando que quando precisamos calcular o valor médio de alguma variável, nós podemos usar a integral definida sob um determinado intervalo para obter seu valor médio, assim

B n u c = ∫ 0 θ ' B n u c s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ

O denominador representa a constante de normalização e ela significa a probabilidade total dentro da faixa de valores de 0 a θ’.

Substituindo pela expressão de ℬnuc:

B n u c = ∫ 0 θ ' - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ

Retirando os termos que não dependem do ângulo teta de dentro da integral:

B n u c = - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 ∫ 0 θ ' 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ

Passo 4

Vamos então resolver a razão das integrais simultaneamente

∫ 0 θ ' 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ

Podemos fazer uma substituição simples, da seguinte forma

x = c o s ⁡ ( θ )

Assim,

d x = s e n θ d θ

Com isso,

∫ 0 θ ' 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ = ∫ 0 θ ' 1 - 3 x 2 d x ∫ 0 θ ' d x

Resolvendo a integral vamos chegar em

∫ 0 θ ' 1 - 3 x 2 d x ∫ 0 θ ' d x = x - x 3 x = 1 - x 2

Passo 5

Substituindo as relações de x:

∫ 0 θ ' 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 θ ' s e n θ d θ = 1 - cos 2 ⁡ θ θ ' 0

Aplicando os valores do intervalo:

1 - cos 2 ⁡ θ ' - 1 - cos 2 ⁡ 0 = 1 - cos 2 ⁡ θ ' - 1 - 1 = 1 - cos 2 ⁡ θ '

Portanto, a equação para o campo médio dipolar é:

B n u c = - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 1 - cos 2 ⁡ θ '           E q 2

Passo 6

Quando θ’ = π:

cos 2 ⁡ π = - 1 2 = 1

Assim,

B n u c = - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 1 - 1 = 0

Então, quando θ’ = π:

B n u c = 0

Passo 7

Agora para calcularmos o valor médio do campo dipolar local para a molécula de H2O no Problema 15.15, para θ’ = 30°, vamos pegar a Eq2 que obtemos, e os dados do problema 15.15

Pelo problema 15.15:

g I = 5,5857 ;   μ N = 5,0508 x 01 - 27   J   T - 1 ; μ 0 = 4 π x 10 - 7   T 2   J - 1   m 3

m I = + 1 2

O valor de R obtido no problema 15.15 foi

R = 158   p m = 158 x 10 - 12 m

Com a Eq2:

B n u c = - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 1 - cos 2 ⁡ θ '

Aplicando os valores:

B n u c = 5,5857 5,0508 x 01 - 27   J   T - 1 4 π x 10 - 7   T 2   J - 1   m 3 1 2 4 π 158 x 10 - 12 m 3 1 - cos 2 ⁡ 30 °

Sendo que

cos ⁡ 30 ° = 3 2

cos 2 ⁡ 30 ° = 3 4 = 0,75

Assim,

B n u c = 5,5857 5,0508 x 01 - 27   J   T - 1 4 π x 10 - 7   T 2   J - 1   m 3 1 2 4 π 158 x 10 - 12 m 3 1 - 0,75

B n u c = 10 - 4 T = 0,1   m T

Resposta

B n u c = - g I μ N μ 0 m I 4 π R 3 1 - cos 2 ⁡ θ '

Quando θ’ = π:

B n u c = 0

Quando θ’ = 30°:

B n u c = 0,1   m T

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