Enunciado

23 – A espectroscopia de RMN pode ser usada para a determinação da constante de equilíbrio para a dissociação de um complexo formado entre uma molécula pequena, como um inibidor enzimático I, e uma proteína, como uma enzima E:

E I ↔ E + I

K I = E I E I

No limite de troca química lenta, o espectro de RMN de um próotn em I consiste em duas ressonâncias, uma em νI, para I livre, e outra a νEI, para I ligado. Em troca química rápida, o espectro de RMN do mesmo próton consiste em uma única linha, com frequência de ressonância, ν, dada por

v = f I v I + f E I v E I

Onde, fI é a fração de I livre e fEI é a fração de I ligado, definido por

f I = [ I ] I + [ E I ] ;   f E I = [ E I ] I + [ E I ]

Para facilitar a análise dos dados, é conveniente definir as diferenças de frequência

δ v = v - v I ;   ∆ v = v E I - v I

Mostre que, quando a concentração inicial de I, [I]0, é muito maior que a concentração inicial de E, [E]0, o gráfico de [I]0 contra (δν)-1 é linear, com coeficiente angular [E]0Δν e interseção –K1.

Passo 1

Para este exercício, você poderá trabalhar com as expressões fornecidas a você no enunciado, e com estas equações, através de manipulação algébrica, chegar em uma relação de linearidade entre [I]0 e (δν)-1 para quando a concentração inicial de I for muito maior que a concentração inicial de E, isto é, você terá que chegar em uma relação assim como mostrada a seguir

I 0 ∝ δ v - 1

I 0 ∝ 1 δ v

Para quando,

I 0 ≫ E 0

Passo 2

Como foi dito no enunciado, espera-se obter uma relação linear entre [I]0 e (δν)-1, com coeficiente angular [E]0Δν e interseção –K1. Dessa forma a equação que devemos verificar é a seguinte:

[ I ] 0 = E 0 ∆ v δ v - K = E 0 ∆ v δ v - 1 - K           E q 1

Onde,

-[I]0 é a concentração inicial de I;

-[E]0 é a concentração inicial de E;

-K é a constante de equilíbrio;

-Δν é a variação da frequência entre os componentes EI e I;

-δν é a diferença de frequências entre a frequência de ressonância do espectro de RMN e o componente I;

Para você verificar se a Eq1 é válida, você pode pegar as expressões fornecidas no enunciado e expressa-las em termos das variáveis e parâmetros da Eq1.

Passo 3

Vamos começar pegando a seguinte expressão para a frequência de ressonância do RMN:

v = f I v I + f E I v E I

Sabemos que

f I = [ I ] I + [ E I ] ;   f E I = [ E I ] I + [ E I ]

Assim, substituindo:

v = [ I ] I + [ E I ] v I + [ E I ] I + [ E I ] v E I

Sendo que por balanço de massa temos que a concentração inicial de I, [I]0, é divido em duas concentrações: a concentração de E, [E], e a de I, [I], assim matematicamente:

[ I ] 0 = I + [ E I ]

Então,

v = [ I ] 0 - [ E I ] [ I ] 0 v I + [ E I ] [ I ] 0 v E I

Passo 4

Então, vamos isolar [EI]:

v = v I - E I I 0 v I + [ E I ] [ I ] 0 v E I = [ E I ] ( v E I - v I ) [ I ] 0 + v I

v - v I = E I v E I - v I I 0

E I = I 0 v E I - v I ( v - v I )

Sendo que

δ v = v - v I

∆ v = v E I - v I

Assim,

E I = I 0 δ v Δ v         E q 2

Passo 5

Pela equação do quociente de concentrações, ou seja, a equação da constante de equilíbrio K:

K = E I E I

Vamos fazer um balanço de massa agora para E, onde sua concentração [E] é a concentração inicial [E]0 menos a concentração de EI, [EI], assim

E = [ E ] 0 - [ E I ]

Analogamente para I

I = [ I ] 0 - [ E I ]

Substituindo essas relações na equação da constante de equilíbrio K:

K = ( E 0 - [ E I ] ) ( [ I ] 0 - [ E I ] ) E I

Como a concentração inicial de I é muito maior do que a concentração inicial de E, com isso podemos assumir também que

I 0 ≫ E I

Logo,

K = ( E 0 - [ E I ] ) [ I ] 0 E I

Passo 6

Vamos isolar [I]0

K E I = E 0 - E I I 0

I 0 = K E I E 0 - E I

E pela Eq2

E I = I 0 δ v Δ v

Substituindo

I 0 = K E 0 - I 0 δ v Δ v I 0 δ v Δ v

Passo 7

Vamos agora fazer algumas manipulações algébricas para tentar explicitarmos o termo de [I]0 na equação anterior

I 0 = K Δ v Δ v E 0 - I 0 δ v I 0 δ v Δ v

I 0 = K I 0 δ v Δ v E 0 - I 0 δ v

1 = K δ v Δ v E 0 - I 0 δ v

Δ v E 0 - I 0 δ v = K δ v

I 0 δ v = Δ v E 0 - K δ v

I 0 = Δ v E 0 - K δ v δ v

I 0 = Δ v E 0 δ v - K

I 0 = E 0 ∆ v δ v - 1 - K

Portanto, conseguimos chegar exatamente na mesma forma da Eq1 que representa uma relação linear entre [I]0 e (δν)-1.

Resposta

I 0 = E 0 ∆ v δ v - 1 - K

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