Enunciado

25 – A distribuição dos isótopos de um elemento pode fornecer informações sobre as reações nucleares que ocorrem no interior de uma estrela. Mostre que é possível usar a espectroscopia para confirmar a presença de 4He+ e 3He+ numa estrela, calculando-se os números de onda das transições n = 3 -> n = 2 e n = 2 -> n = 1 para cada isótopo.

Passo 1

O nº de onda de uma transição espectroscópica está relacionado com a diferença dos níveis de energia relevantes. Para um átomo ou íon com um elétron, a relação é:

h c v = ∆ E

Onde,

∆ E = E 1 - E 2

Onde, E1 e E2 são as energias dos níveis 1 e 2, que definidos como

E 1 = Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 n 1 2

E 2 = Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 n 2 2

Assim,

h c v = Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 n 1 2 - Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 n 2 2

h c v = Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 1 n 2 2 - 1 n 1 2

Passo 2

Para determinarmos o número de onda, v, vamos isolar o termo v na expressão anterior:

v = Z 2 μ H e e 4 32 π 2 ε 0 2 ħ 2 h c 1 n 2 2 - 1 n 1 2

Sendo

ħ = h 2 π

Assim, substituindo essa relação:

v = Z 2 μ H e e 4 8 ε 0 2 h 3 c 1 n 2 2 - 1 n 1 2

O número atômico Z para o Hélio é Z = 2, assim

v = μ H e e 4 2 ε 0 2 h 3 c 1 n 2 2 - 1 n 1 2

Vamos deixar a nº de onda em função apenas da massa reduzida, μHe, e dos níveis, ni. Substituindo os valores dos outros parâmetros:

v = μ H e ( 1,6 x 10 - 19 C ) 4 2 8,85 x 10 - 12   J - 1 C 2 m - 1 2 6,626 x 10 - 34 J   s 3 ( 3,0 x 10 10 c m   s - 1 ) 1 n 2 2 - 1 n 1 2

v = ( 4,8187 x 10 35 ) μ H e 1 n 2 2 - 1 n 1 2

Passo 3

Vamos agora determinar as massas reduzidas para cada isótopo.

A massa reduzida para os núcleos de 4He+ e 3He+ será dada por:

μ H e = m e m n u c m e + m n u c

Onde, me é a massa do elétron e mnuc é a massa do núcleo do átomo de Hélio.

Vamos calcular as massas para os núcleos de 4He+ e 3He+:

As massas desses núcleos podem ser calculadas pegando as massas em termos de unidades de massa atômica e com a cte de Avogadro, assim

m n u c ( 4 H e ) = 4,0 u 1,66 x 10 - 27 k g   u - 1 = 6,64648 x 10 - 27 k g

m n u c ( 3 H e ) = 3,0 u 1,66 x 10 - 27 k g   u - 1 = 5,00824 x 10 - 27 k g

Calculando as massas reduzidas:

μ ( 4 H e ) = 9,109 x 10 - 31 k g 6,64648 x 10 - 27 k g 9,109 x 10 - 31 k g + 6,64648 x 10 - 27 k g = 9,10814 x 10 - 31 k g

μ ( 3 H e ) = 9,109 x 10 - 31 k g 5,00824 x 10 - 27 k g 9,109 x 10 - 31 k g + 5,00824 x 10 - 27 k g = 9,10773 x 10 - 31 k g

Passo 4

Por fim vamos determinar os números de onda para as respectivas transições:

Para a transição n = 3 -> n = 2:

v ( 4 H e ) = 4,8187 x 10 35 9,10814 x 10 - 31 k g 1 4 - 1 9

v ( 4 H e ) = 60957,4   c m - 1

v ( 3 H e ) = 4,8187 x 10 35 9,10773 x 10 - 31 k g 1 4 - 1 9

v ( 3 H e ) = 60954,7   c m - 1

Para a transição n = 2 -> n = 1:

v ( 4 H e ) = 4,8187 x 10 35 9,10814 x 10 - 31 k g 1 - 1 4

v ( 4 H e ) = 329170   c m - 1

v ( 3 H e ) = 4,8187 x 10 35 9,10773 x 10 - 31 k g 1 - 1 4

v ( 3 H e ) = 329155   c m - 1

Resposta

Para a transição n = 3 -> n = 2:

v ( 4 H e ) = 60957,4   c m - 1

v ( 3 H e ) = 60954,7   c m - 1

Para a transição n = 2 -> n = 1:

v ( 4 H e ) = 329170   c m - 1

v ( 3 H e ) = 329155   c m - 1

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