Enunciado

25 – A) Sabendo-se que qualquer operador que representa um observável deve satisfazer à relação de comutação dada pela eq. 8.38, como deve ser o operador posição se o momento linear paralelo ao eixo dos x for representado pelo operador multiplicado por x? Essas escolhas diferentes são ‘representações’ válidas em mecânica quântica.

B) Tendo identificado o operador x nessa representação, como é o operador para 1/x?

Sugestão: Pense em 1/x como x-1.

Passo 1

A)

Na representação do momento, dada pela eq. 8.39 temos que:

x , p x ϕ = x , p x × ϕ = x p x × ϕ - p x × x ϕ = i ħ ϕ

Supondo que a posição do operador tem a forma que se segue:

x = a d d p x

Onde, a é um nº complexo. Então,

a d d p x ( p x × ϕ ) - p x × a d d p x ϕ = i ħ ϕ

d d p x ( p x × ϕ ) - p x × d d p x ϕ = i ħ a ϕ

d p x d p x ϕ + d ϕ d p x p x - p x d ϕ d p x = i ħ a ϕ

Sendo

d p x d p x = 1

Logo,

ϕ = i ħ a ϕ

Vamos chegar que

a = i ħ

Assim, o operador de x será dado por

x = i ħ d d p x

Passo 2

B)

O fato que a integração é o processo inverso da diferenciação sugere que na representação do momento temos que

x - 1 ϕ = i ħ d d p x - 1 ϕ

Sendo

d d p x - 1 = ∫ - ∞ p x d p x

Assim,

x - 1 ϕ = 1 i ħ ∫ - ∞ p x d p x   ϕ = 1 i ħ ∫ - ∞ p x ϕ d p x

Nós precisamos confirmar que a relação do operador x-1x = xx-1 = 1.

Usando a regra de diferenciação de integrais de Leibniz:

x x - 1 ϕ = i ħ d d p x 1 i ħ ∫ - ∞ p x ϕ d p x

x x - 1 ϕ = d d p x ∫ - ∞ p x ϕ d p x = ∫ - ∞ p x d ϕ d p x d p x

Assim,

x x - 1 ϕ = ϕ

Logo, o operador xx-1 é:

x x - 1 = 1

Passo 3

Vamos verificar para x-1x:

x - 1 x ϕ = 1 i ħ ∫ - ∞ p x d p x i ħ d ϕ d p x

x - 1 x ϕ = ∫ - ∞ p x d ϕ d p x d p x = ∫ - ∞ p x d ϕ

∫ - ∞ p x d ϕ = ϕ

Assim,

x - 1 x ϕ = ϕ

Logo,

x - 1 x = 1

Resposta

A)

x = i ħ d d p x

B)

x - 1 = i ħ d d p x - 1

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