Enunciado

1. Um elétron localiza-se no átomo de hidrogênio com n = 3 . a ) Calcule os valores possíveis de L e L z para esse elétron, em unidades de . b ) Para cada valor de L , encontre todos os ângulos possíveis entre L e o eixo O z .

Passo 1

Primeiro, para podermos fazer alguma coisa temos que saber como calcular L e L z , eles são expressos da seguinte maneira, pelas equações 41.4 e 41.5 .

L = l l + 1 ℏ

L z = m l ℏ

Mas quem é l e m l ? Fica tranquilo que eles não são nada de mais, são outros números quânticos, onde:

l = 0 ,   1 ,   2 ,   . . . ,   n - 1

m l = 0 , ± 1 ,   ± 2 , … ,   ± l

Então se temos n = 3 , temos que:

l = 0 ,   1 ,   2  

E para

l = 0

m l = 0

l = 1

m l = 0 ,   ± 1

l = 2

m l = 0 ,   ± 1 ,   ± 2

Cama pessoal que ainda falta outra coisa, o ângulo entre L e o eixo O z , que é dado por:

θ = arccos ⁡ L z L

Se você olhar os números quânticos pode ver que dependendo do valor de l teremos mais de um L z para o mesmo L e consequentemente mais de um ângulo θ para o mesmo L .

Passo 2

Então vamos começar galera. Primeiro temos:

l = 0

Então teremos

m l = 0

Assim:

L = 0 0 + 1 ℏ

⇒ L = 0

Logo:

L z = 0 ℏ

⇒ L z = 0

Passo 3

Agora para

l = 1

Teremos:

m l = - 1 ,   0 ,   1

Assim:

L = 1 1 + 1 ℏ

⇒ L = 2 ℏ

Logo:

L z = - ℏ

L z = 0

L z = ℏ

Passo 4

Agora para

l = 2

Teremos:

m l = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2

Assim:

L = 2 2 + 1 ℏ

⇒ L = 6 ℏ

Logo:

L z = - 2 ℏ

L z = - ℏ

L z = 0

L z = ℏ

L z = 2 ℏ

Passo 5

Agora vamos encontrar os ângulos de L em relação O z .

Para L = 0 temos L z = 0 , assim:

θ = arccos ⁡ 0 0

Logo θ não é definido.

Para L = 2 ℏ temos L z = - ℏ , L z = 0 , L z = ℏ , assim:

θ 1 = arccos ⁡ - ℏ 2 ℏ

= 135 °

θ 2 = arccos ⁡ 0 2 ℏ

= 90 °

θ 3 = arccos ⁡ ℏ 2 ℏ

= 45 °

Para L = 6 ℏ temos L z = - 2 ℏ ,   L z = - ℏ , L z = 0 , L z = ℏ ,   L z = 2 ℏ , assim:

θ 1 = arccos ⁡ - 2 ℏ 6 ℏ

= 144,7 °

θ 2 = arccos ⁡ - ℏ 6 ℏ

= 144,1 °

θ 3 = arccos ⁡ 0 6 ℏ

= 90 °

θ 4 = arccos ⁡ ℏ 6 ℏ

= 65,9 °

θ 5 = arccos ⁡ 2 ℏ 6 ℏ

= 35,3 °

Prontinho encontramos tudo!

Resposta

( a )

Para l = 0 :

L = 0

L z = 0

Para l = 1 :

L = 2 ℏ

L z = - ℏ

L z = 0

L z = ℏ

Para l = 2 :

L = 6 ℏ

L z = - 2 ℏ

L z = - ℏ

L z = 0

L z = ℏ

L z = 2 ℏ

( b )

Para L = 0 não temos θ definido.

Para L = 2 ℏ :

θ 1 = 135 °

θ 2 = 90 °

θ 3 = 45 °

Para L = 6 ℏ :

θ 1 = 144,7 °

θ 2 = 144,1 °

θ 3 = 90 °

θ 4 = 65,9 °

θ 5 = 35,3 °

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