Enunciado

27 – Deduza (em coordenadas cartesianas) os operadores quânticos dos três componentes do momento angular, partindo da definição clássica I = r x p. Mostre que quaisquer duas componentes não são comutativas, e encontre, em cada caso, o respectivo comutador.

Passo 1

Vamos primeiramente relembrar como é descrito um produto vetorial

I = r   x   p

Relembrando, então que, o produto vetorial entre os vetores r e p, é escrito como o determinante da seguinte matriz:

r   x   p = i x p x j y p y k z p z

Resolvendo o determinante:

I = r   x   p = i ( y p z - z p y ) + j ( z p x - x p z ) + k ( x p y - y p x )

Passo 2

Vamos relembrar também que os vetores i, j e k, representam, respectivamente, o vetor do componente x, o vetor da componente y e o vetor da componente z.

Com isso, as componentes do vetor momento angular (I) são:

Componente x:

I x = ( y p z - z p y )

Sendo

y p z = y ħ i ∂ ∂ z ;   z p y = z ħ i ∂ ∂ y

Assim,

I x = ħ i y ∂ ∂ z - z ∂ ∂ y

Analogamente,

Componente y:

I y = z p x - x p z

I y = ħ i z ∂ ∂ x - x ∂ ∂ z

Componente y:

I z = x p y - y p x

I z = ħ i x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x

Passo 3

Para mostrarmos que quaisquer duas componentes não são comutativos, vamos pegar o comutador de dois duas componentes, tal como para Ix e Iy, que é:

I x I y = I x I y - I y I x

Se essa diferença for nula, então os dois componentes são comutativos caso contrário não são comutativas, portanto o resultado da diferença não deve ser zero.

Calculando IxIy de uma função qualquer f:

I x I y f = ħ i y ∂ f ∂ z - z ∂ f ∂ y ħ i z ∂ f ∂ x - x ∂ f ∂ z

I x I y f = - ħ 2 y ∂ f ∂ z - z ∂ f ∂ y z ∂ f ∂ x - x ∂ f ∂ z

Pois,

i 2 = - 1

Resolvendo,

I x I y f = - ħ 2 y z ∂ 2 f ∂ z ∂ x + y ∂ f ∂ x - y x ∂ 2 f ∂ z 2 - z 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x + z x ∂ 2 f ∂ z ∂ y

Passo 4

Calculando IyIx de uma função qualquer f:

I y I x f = ħ i z ∂ f ∂ x - x ∂ f ∂ z ħ i y ∂ f ∂ z - z ∂ f ∂ y

I y I x f = - ħ 2 z ∂ f ∂ x - x ∂ f ∂ z y ∂ f ∂ z - z ∂ f ∂ y

Resolvendo,

I y I x f = - ħ 2 z y ∂ 2 f ∂ x ∂ z - z 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x - x y ∂ 2 f ∂ z 2 + x z ∂ 2 f ∂ z ∂ y + x ∂ f ∂ y

Assumindo que as derivadas sejam comutativas, isto é,

∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x

Assim, vamos ter que

I x I y f - I y I x f = - ħ 2 y z ∂ 2 f ∂ z ∂ x + y ∂ f ∂ x - y x ∂ 2 f ∂ z 2 - z 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x + z x ∂ 2 f ∂ z ∂ y - z y ∂ 2 f ∂ x ∂ z - z 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ x - x y ∂ 2 f ∂ z 2 + x z ∂ 2 f ∂ z ∂ y + x ∂ f ∂ y

Resolvendo vamos chegar que:

I x I y - I y I x = - ħ 2 y ∂ ∂ x - x ∂ ∂ y

Lembrando que

I z = ħ i x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x

x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x = i ħ I z

Assim,

I x I y - I y I x = i ħ I z

Passo 5

Para você encontrar os outros comutadores, basta você repetir os mesmos passos que fez anteriormente. Fazendo isso vai chegar em:

Analogamente,

I z I x - I x I z = i ħ I y

I y I z - I z I y = i ħ I x

Resposta

I x I y - I y I x = i ħ I z

I z I x - I x I z = i ħ I y

I y I z - I z I y = i ħ I x

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