Enunciado

27 – Suponha que um órgão uniforme de formato discoide se encontra num gradiente de campo linear, e que o sinal de IRM é proporcional ao número de prótons numa fatia de largura δx em cada distância horizontal x do centro do disco. Esquematize o formato da intensidade de absorção para a imagem de IRM do disco antes que tenha sido efetuada qualquer manipulação por computador.

Passo 1

Para fazermos essa tarefa, de esquematizar o formato da intensidade de absorção de uma imagem de IRM do disco, nós precisaremos de uma equação que represente o comportamento da intensidade de absorção do sinal em um disco.

Podemos usar a informação de que o sinal de IRM é proporcional ao nº de prótons numa fatia de uma certa largura em cada distancia x do centro do disco. Assim, o sinal de IRM será proporcional ao volume de prótons contido em um determinado ponto x do disco, sendo que podemos dizer também que o comprimento da fatia é proporcional a esse ponto x do disco.

Passo 2

Um disco é um objeto massivo circular com uma certa espessura, em que em uma atribuição de coordenadas, em um disco, uma coordenada cartesiana x pode ser convertida em uma coordenada polar, tal como a coordenada θ, da seguinte forma

x = cos ⁡ θ

Onde, o θ representa o ângulo do ponto x do disco em relação ao centro do disco.

Assim, podemos relacionar o ângulo com a variável x da seguinte maneira:

θ = a r c c o s ⁡ ( x )

Como foi dito que o comprimento da fatia é proporcional ao ponto x do disco e sabendo que o disco possui uma geometria circular e para geometrias circulares temos que em coordenadas polares o comprimento total é escrito em função do ângulo da seguinte forma

  L = 2 s e n θ

Como foi encontrado que

θ = a r c c o s ⁡ ( x )

Assim,

L = 2 s e n a r c c o s ⁡ ( x )

Passo 3

Portanto, temos uma função para o comprimento da fatia, e sabemos que o sinal é proporcional ao nº de prótons na fatia e o volume de prótons nessa fatia é proporcional ao comprimento da mesma, logo a intensidade do sinal será proporcional a esse comprimento da fatia que depende do ponto x no disco, e portanto para acharmos o formato da intensidade do sinal de IRM, nós podemos plotar o gráfico da função dada pela equação anterior, seguindo a seguinte relação

I S i n a l ∝ f x = 2 s e n a r c c o s ⁡ ( x )

Atribuindo valores para x no intervalo de -1 a 1, pois se trata de uma função trigonométrica, assim o formato da intensidade do sinal IRM terá a seguinte forma:

Resposta

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