Enunciado

28 – A partir do operador Iz = xpy – ypx, prove que em coordenadas esféricas:

I z = - i ħ ∂ ∂ ϕ

Passo 1

Precisamos nesta questão verificar se o operador Iz, definido tal como no enunciado, possui a relação matemática apresentada também no enunciado

I z = - i ħ ∂ ∂ ϕ

Vamos precisar de definir primeiramente quem é o momento linear em x, px, e em y, py.

Passo 2

Os componentes do momento linear em x e em y são:

p x = ħ i ∂ ∂ x ;   p y = ħ i ∂ ∂ y

Assim, pegando a expressão do operador Iz

I z = x p y - y p x

Substituindo

I z = x ħ i ∂ ∂ y - y ħ i ∂ ∂ x

I z = ħ i x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x

Passo 3

Encontramos então a expressão do operador para coordenadas cartesianas, mas precisamos verificar em coordenadas esféricas, vamos precisar então de fazer uma mudança de variável de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas.

Para coordenadas cartesianas temos as variáveis: x, y e z

Para coordenadas esféricas temos as variáveis: r, θ e φ

Você pode se lembrar de cálculo, que podemos fazer a seguinte relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas:

x = r s e n θ cos ⁡ ϕ

y = r s e n θ sen ⁡ ϕ

z = rcos ⁡ θ

Passo 4

Precisaremos encontrar uma relação para a derivada parcial ∂ ∂ ϕ , de modo que possamos mostrar a relação matemática do enunciado.

Também da matéria de cálculo, você pode se lembrar da regra da cadeia. Com a regra da cadeia para derivadas parciais você pode fazer uma manipulação e encontrar a derivada em função do ângulo φ.

Colocando o ângulo φ em termos das coordenadas cartesianas pela regra da cadeia para derivadas parciais:

∂ ∂ ϕ = ∂ x ∂ ϕ ∂ ∂ x + ∂ y ∂ ϕ ∂ ∂ y + ∂ z ∂ ϕ ∂ ∂ z

Passo 5

Calculando as derivadas:

-Derivada de x

∂ x ∂ ϕ = ∂ ∂ ϕ r s e n θ cos ⁡ ϕ = - r s e n θ sen ⁡ ϕ

Sendo

y = r s e n θ sen ⁡ ϕ

Então,

∂ x ∂ ϕ = - y

-Derivada de y

∂ y ∂ ϕ = ∂ ∂ ϕ r s e n θ sen ⁡ ϕ = r s e n θ cos ⁡ ϕ

Sendo

x = r s e n θ cos ⁡ ϕ

Então,

∂ y ∂ ϕ = x

-Derivada de z

∂ z ∂ ϕ = ∂ ∂ ϕ rcos ⁡ θ = 0

Passo 6

Fazendo a substituição das derivadas que encontramos, vamos chegar que:

∂ ∂ ϕ = ∂ x ∂ ϕ ∂ ∂ x + ∂ y ∂ ϕ ∂ ∂ y + ∂ z ∂ ϕ ∂ ∂ z = - y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y + 0 ∂ ∂ z

∂ ∂ ϕ = - y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y = x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x

Como

I z = ħ i x ∂ ∂ y - y ∂ ∂ x

Assim,

I z = ħ i ∂ ∂ ϕ

Fazendo uma manipulação algébrica em relação a variável imaginária i:

1 i = 1 i i i = i i 2

Sendo por definição:

i 2 = - 1

Então

1 i = i i 2 = - i

Assim,

I z = - i ħ ∂ ∂ ϕ

Resposta

I z = - i ħ ∂ ∂ ϕ

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