Enunciado

(a) Escreva uma expressão para a energia potencial total de Coulomb para um átomo de berílio. (b) Se Z é o número de elétrons de um átomo, escreva uma expressão geral que represente o número total de termos que estará presente na equação da energia potencial total de Coulomb.

Passo 1

a) Um átomo de berílio possui quatro elétrons e carga + 4 no núcleo. Cada elétron é atraído para o núcleo, o que reduz a energia do sistema e os elétrons também se repelem, o que aumenta a energia do sistema.

A energia potencial de Coulomb V referente a um par de cargas pontuais, com carga  q 1   q 2 , e separada por uma distância  r , é a seguinte:

V = 1 4 π ε 0 q 1 q 2 r

Onde q 1 e q 2 são as cargas,  ε 0 é a permissividade do vácuo e  r é a distância entre as cargas. Se as cargas tiverem o mesmo sinal, temos que fazer um trabalho positivo para uni-las contra a repulsão. Portanto, a energia potencial do sistema será positiva. Se as cargas têm sinais opostos, temos que fazer um trabalho negativo contra a atração mútua. Assim, a energia potencial do sistema é então negativa.

Passo 2

A expressão da energia potencial total Coulomb de um átomo de berílio é:

V = - 4 e 2 4 π ε 0 1 r 1 + 1 r 2 + 1 r 3 + 1 r 4 + e 2 4 π ε 0 1 r 12 + 1 r 13 + 1 r 14 + 1 r 23 + 1 r 24 + 1 r 34

Onde e representa a carga do elétron,  ε 0 é a permissividade do vácuo,  r x ( x = 1 ,   2 ,   3   e   4 ) é a distância de cada elétron a partir do núcleo, e r x y x y = 12 ,   13 ,   14 ,   23 ,   24 ,   34 é a distância entre os elétrons.

Passo 3

b) Considere um átomo com Z  elétrons e carga  +   Z  no núcleo. Cada elétron é atraído para o núcleo o que reduz a energia do sistema, e os elétrons também se repelem o que aumenta a energia do sistema.

A expressão para energia potencial total de Coulomb de um átomo desse tipo é:

V = - Z e 2 4 π ε 0 1 r 1 + 1 r 2 + … + 1 r Z + e 2 4 π ε 0 1 r 12 + … + 1 r 1 Z + 1 r 23 + … + 1 r 2 Z + … + 1 r Z - 1 Z

onde  e representa a carga do elétron,  ε 0 é a permissividade do vácuo,  r x é a distância de elétrons numeradas  x  a partir do núcleo, e   r x y é a distância entre dois elétrons numeradas  x  e  y  .

Resposta

a) V = - 4 e 2 4 π ε 0 1 r 1 + 1 r 2 + 1 r 3 + 1 r 4 + e 2 4 π ε 0 1 r 12 + 1 r 13 + 1 r 14 + 1 r 23 + 1 r 24 + 1 r 34

b)

V = - Z e 2 4 π ε 0 1 r 1 + 1 r 2 + … + 1 r Z + e 2 4 π ε 0 1 r 12 + … + 1 r 1 Z + 1 r 23 + … + 1 r 2 Z + … + 1 r Z - 1 Z

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